Le rotor d'hélicoptère en vol d'avancement

La stratégie. On compose deux mouvements au programme, une rotation autour d'un axe fixe dans l'hélicoptère puis une translation, sans jamais prendre le rotor, dont l'axe avance, pour référentiel d'étude.

1) Translation, puis rotation. ${\mathcal{R}}_H$ est en translation rectiligne uniforme (${\overrightarrow{\Omega }}_{H/\mathcal{R}}=\overrightarrow{0}$) ; ${\mathcal{R}}_{\text{rot}}$ est en rotation uniforme autour de l'arbre, fixe dans ${\mathcal{R}}_H$, avec $\Omega =\frac{2\pi \times 390}{60}=40,8\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. Par additivité, ${\overrightarrow{\Omega }}_{\text{rot}/\mathcal{R}}=\Omega {\overrightarrow{u}}_z$, mais aucune droite du rotor n'est immobile dans le sol : ce n'est pas un cas du programme.

2) Deux compositions. Dans ${\mathcal{R}}_H$, ${\overrightarrow{v}}_H(P)=\Omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge \overrightarrow{OP}=\Omega r{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ ; dans le sol, la translation ajoute la vitesse d'entraînement uniforme $\overrightarrow{V}$ : ${\overrightarrow{v}}_{\mathcal{R}}(P)=\Omega r{\overrightarrow{u}}_{\theta }+V{\overrightarrow{u}}_x$. L'air étant immobile, sa vitesse par rapport à l'élément de pale est $\overrightarrow{w}=-(\Omega r{\overrightarrow{u}}_{\theta }+V{\overrightarrow{u}}_x)$. Avec l'azimut compté depuis la queue, ${\overrightarrow{u}}_r=-\cos \psi {\overrightarrow{u}}_x-\sin \psi {\overrightarrow{u}}_y$, ${\overrightarrow{u}}_{\theta }=\sin \psi {\overrightarrow{u}}_x-\cos \psi {\overrightarrow{u}}_y$, donc ${\overrightarrow{u}}_x=-\cos \psi {\overrightarrow{u}}_r+\sin \psi {\overrightarrow{u}}_{\theta }$ et $$\overrightarrow{w}=V\cos \psi {\overrightarrow{u}}_r-(\Omega r+V\sin \psi ){\overrightarrow{u}}_{\theta }.$$ La composante le long de la pale ne porte pas ; la composante utile est $U=\Omega r+V\sin \psi$.

3) Une dissymétrie massive. $V=69,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; en vol stationnaire, $\Omega R=218,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ (Mach $0,64$). En avançant : $U=218,5+69,4=287,9\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ (Mach $0,85$) à $\psi =90^{\circ }$, et $U=149,1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ à $\psi =270^{\circ }$. Rapport des portances, à réglage identique : $(287,9/149,1{)}^2=3,7$. L'appareil basculerait ; en réalité chaque pale change d'incidence au cours du tour et bat librement.

4) Un disque d'écoulement inversé. $U<0$ équivaut à $r<-\frac{V}{\Omega }\sin \psi$, possible seulement du côté reculant ($\sin \psi <0$). La coordonnée de $P$ selon ${\overrightarrow{u}}_y$ est $y=-r\sin \psi$ ; la condition devient $r^2<\frac{V}{\Omega }y$, soit $x^2+{\left(y-\frac{V}{2\Omega }\right)}^2<{\left(\frac{V}{2\Omega }\right)}^2$ : l'intérieur du cercle de diamètre $V/\Omega =69,4/40,8=1,70\mathrm{m}$, du côté reculant, passant par le moyeu. Interprétation : le point $I$ tel que $\overrightarrow{OI}=\frac{V}{\Omega }{\overrightarrow{u}}_y$ a pour vitesse $V{\overrightarrow{u}}_x+\Omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge \frac{V}{\Omega }{\overrightarrow{u}}_y=\overrightarrow{0}$ ; c'est le centre instantané de rotation du rotor, et tout point $P$ a la vitesse $\Omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge \overrightarrow{IP}$, perpendiculaire à $IP$. Elle est portée par la pale, et $U=0$, quand $IP\perp OP$ : $P$ voit $[OI]$ sous un angle droit. Le rapport d'avancement vaut $\mu =69,4/218,5=0,32$ : à $\psi =270^{\circ }$, les $32\%$ de la pale les plus proches du moyeu sont inversés, là où les vitesses sont faibles. Cas limites : $V=0$, $U=\Omega r$ partout, le disque se réduit au moyeu ; $\mu \to 1$, le disque atteint le bout de la pale reculante, qui ne porte plus (il faudrait $787\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$).

Les flèches donnent, à l'échelle entre elles, la vitesse de l'air par rapport à la pale le long du diamètre transversal.

5) Pris en étau. $\Omega R+V\le 0,92\times 340=312,8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ donne $V_{\max }=312,8-218,5=94,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=340\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$. Réduire $\Omega$ soulagerait la pale avançante, mais augmenterait $\mu$ : la pale reculante, à $\Omega R-V$, perdrait encore de la portance et décrocherait. Compressibilité d'un côté, décrochage de l'autre : d'où les vitesses modestes des hélicoptères.

Ce que l'exercice installe. Composer une rotation autour d'un axe fixe et une translation, plutôt que d'employer un référentiel dont l'axe bouge. Le champ obtenu est dissymétrique (pale avançante, pale reculante) et s'organise autour du centre instantané de rotation ; $V=0$ et $\mu \to 1$ l'encadrent.