Transformation de Galilée et temps absolu

• Le train étant en translation rectiligne uniforme et $O^{\prime }$ en $O$ à $t=0$, $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=Vt{\overrightarrow{e}}_x$ ; la relation de Chasles $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }M}$, projetée sur des axes parallèles, donne $x=x^{\prime }+Vt$, $y=y^{\prime }$, $z=z^{\prime }$. Elle suppose déjà que les deux observateurs mesurent les mêmes longueurs. Mais $t$ y est la date du quai : pour décrire l'événement avec les horloges du train, il faut savoir relier $t^{\prime }$ à $t$. L'hypothèse du temps absolu pose $t^{\prime }=t$ (horloges synchronisées à $t=0$, qui le restent). D'où la transformation de Galilée :

$$x^{\prime }=x-Vt,y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=t.$$

• La vitesse relative est la dérivée de $x^{\prime }$ par rapport à la date $t^{\prime }$ du train. Parce que $t^{\prime }=t$, $\frac{\mathrm{d}{x}^{\prime }}{\mathrm{d}{t}^{\prime }}=\frac{\mathrm{d}{x}^{\prime }}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-V$, les autres composantes étant inchangées : ${\overrightarrow{v}}_r={\overrightarrow{v}}_a-\overrightarrow{V}$, soit ${\overrightarrow{v}}_a={\overrightarrow{v}}_r+{\overrightarrow{v}}_e$ avec ${\overrightarrow{v}}_e=\overrightarrow{V}$ uniforme. Sans temps absolu, la dérivée par rapport à $t^{\prime }$ ne serait plus celle par rapport à $t$, et cette loi tomberait. En dérivant encore, $\overrightarrow{V}$ étant constant, ${\overrightarrow{a}}_r={\overrightarrow{a}}_a$ : les deux référentiels mesurent les mêmes accélérations ; les forces étant les mêmes, la deuxième loi de Newton s'écrit de la même façon dans le train, qui est donc galiléen comme le quai.
• $V=83.3m.s^{-1}$, et la balle va à $83,3+10=93.3m.s^{-1}$ ($336km.h^{-1}$) par rapport au quai. Pour la lumière, le même calcul donnerait $c+V$ ; or toutes les expériences (depuis celle de Michelson et Morley, en 1887) trouvent la même vitesse $c$ dans tous les référentiels galiléens. La composition galiléenne échoue pour la lumière : la relativité restreinte renonce au temps absolu et remplace la transformation de Galilée par celle de Lorentz. Les écarts relatifs entre les deux sont de l'ordre de $(V/c{)}^2$ : $(83,3/3,00\times 10^8{)}^2=7.7\times 10^{-14}$ pour le train, $6.6\times 10^{-10}$ pour un satellite à $7.7km.s^{-1}$. La transformation de Galilée est excellente à toutes les vitesses de la mécanique usuelle.