Force d'inertie volumique et camion-citerne

• Le référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$ du camion est en translation rectiligne par rapport au sol, supposé galiléen. Avec ${\overrightarrow{e}}_x$ dans le sens de la marche et ${\overrightarrow{e}}_z$ vers le haut, ${\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}=-a{\overrightarrow{e}}_x$. Une particule d'eau de volume $\mathrm{d}\tau$, de masse $\rho \mathrm{d}\tau$, au repos dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, subit la force d'inertie $-\rho \mathrm{d}\tau {\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}$, la même en tout point, et aucune force de Coriolis (translation) : la force d'inertie d'entraînement volumique vaut ${\overrightarrow{f}}_{\mathrm{ie},v}=-\rho {\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}=\rho a{\overrightarrow{e}}_x$, dirigée vers l'avant. L'équilibre de la particule, $-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P+\rho \overrightarrow{g}+\rho a{\overrightarrow{e}}_x=\overrightarrow{0}$, donne

$$\frac{\partial P}{\partial x}=\rho a,\frac{\partial P}{\partial y}=0,\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g.$$

• L'eau étant homogène et incompressible, $P(x,z)=\rho ax-\rho gz+C$. La surface libre, $P=P_0$, est le plan $z=\frac{a}{g}x+\text{constante}$, incliné sur l'horizontale de

$$\alpha =\arctan \frac{a}{g}=\arctan 0,408=22^{\circ },$$

et qui s'élève vers l'avant ($x$ croissant) : l'eau se porte vers l'avant, comme le voyageur du train qui freine. Le volume d'eau se conserve et la surface pivote autour de sa position au milieu du compartiment : contre la paroi avant, $h_{\mathrm{av}}=h_0+\frac{aL}{2g}=1.41m$ ; contre la paroi arrière, $h_{\mathrm{ar}}=h_0-\frac{aL}{2g}=0.59m$.

• Le long de la paroi avant, $x$ est fixé et $\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g$ : $P-P_0=\rho g(h_{\mathrm{av}}-z)$, comme en statique ordinaire. La force exercée sur la paroi, de largeur $b$, vaut

$$F={\int }_0^{h_{\mathrm{av}}}\rho g(h_{\mathrm{av}}-z)b\mathrm{d}z=\frac{1}{2}\rho gb{h}_{\mathrm{av}}^2,$$

soit $9.7kN$ par mètre de largeur, contre $\frac{1}{2}\rho g{h}_0^2=4.9kN$ à l'arrêt : presque le double ($\times 1,98$). La dénivellation $aL/g$ est proportionnelle à la longueur du compartiment ; les cloisons (brise-lames) la réduisent, ainsi que les oscillations de la surface au début du freinage, qui déstabiliseraient le véhicule.