Le vent géostrophique

• La particule subit la résultante des forces de pression $-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P\mathrm{d}\tau$, son poids $\rho \overrightarrow{g}\mathrm{d}\tau$ (centrifuge comprise) et la force de Coriolis $-2\rho \overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{v}\mathrm{d}\tau$. Avec $\overrightarrow{\Omega }=\Omega (\cos \lambda {\overrightarrow{u}}_N+\sin \lambda {\overrightarrow{e}}_z)$ et $\overrightarrow{v}$ horizontale, $\cos \lambda {\overrightarrow{u}}_N\wedge \overrightarrow{v}$ est vertical (produit de deux vecteurs horizontaux) : il ne fait que corriger le poids, de $2\Omega v\cos \lambda \sim 1\times 10^{-3}m.s^{-2}$, négligeable devant $g$. La force de Coriolis horizontale vaut $-2\rho \Omega \sin \lambda {\overrightarrow{e}}_z\wedge \overrightarrow{v}$.
• Sans accélération relative, l'équilibre horizontal s'écrit $-{\overrightarrow{\mathrm{grad}}}_{h}P-2\rho \Omega \sin \lambda {\overrightarrow{e}}_z\wedge \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, où ${\overrightarrow{\mathrm{grad}}}_{h}P=\frac{\partial P}{\partial x}{\overrightarrow{u}}_E+\frac{\partial P}{\partial y}{\overrightarrow{u}}_N$. En multipliant vectoriellement à gauche par ${\overrightarrow{e}}_z$, avec ${\overrightarrow{e}}_z\wedge ({\overrightarrow{e}}_z\wedge \overrightarrow{v})=-\overrightarrow{v}$ pour $\overrightarrow{v}$ horizontale :

$$\overrightarrow{v}=\frac{1}{2\rho \Omega \sin \lambda }{\overrightarrow{e}}_z\wedge {\overrightarrow{\mathrm{grad}}}_{h}P=\frac{1}{2\rho \Omega \sin \lambda }\left(-\frac{\partial P}{\partial y}{\overrightarrow{u}}_E+\frac{\partial P}{\partial x}{\overrightarrow{u}}_N\right).$$

Le vent est orthogonal à ${\overrightarrow{\mathrm{grad}}}_{h}P$ : il souffle le long des isobares, et non des hautes vers les basses pressions. Si la pression croît vers le nord, il souffle vers l'ouest : les hautes pressions sont à sa droite (dans l'hémisphère nord). Autour d'une dépression, ${\overrightarrow{\mathrm{grad}}}_{h}P$ est radial et sortant, et $\overrightarrow{v}\propto {\overrightarrow{e}}_z\wedge {\overrightarrow{e}}_r$ est orthoradial : le vent tourne dans le sens trigonométrique.

• $2\Omega \sin \lambda =1.03\times 10^{-4}{s}^{-1}$ et $\Vert {\overrightarrow{\mathrm{grad}}}_{h}P\Vert =1\times 10^{-3}Pa.m^{-1}$, d'où

$$v=\frac{10^{-3}}{1,2\times 1,03\times 10^{-4}}=8.1m.s^{-1}.$$

L'accélération relative est de l'ordre de $v^2/L=6.5\times 10^{-5}m.s^{-2}$ (virage sur la distance $L$), contre $2\Omega v\sin \lambda =8.3\times 10^{-4}m.s^{-2}$ pour le terme de Coriolis : leur rapport, $v/(2\Omega L\sin \lambda )=0,08$, justifie l'approximation. Elle tombe près de l'équateur ($\sin \lambda \to 0$), et près du sol, où le frottement fait dériver le vent vers les basses pressions.