Marcher sur un manège : ce que doivent fournir les pieds

La stratégie. On écrit le principe fondamental dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$ avec les deux forces d'inertie. Le mouvement relatif est imposé, donc ${\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}$ est connue ; la seule inconnue est la force du plancher. Le contrôle se fait dans $\mathcal{R}$, par la composition des vitesses.

1) L'inventaire. Forces réelles : le poids $m\overrightarrow{g}$, la composante verticale $\overrightarrow{N}$ de l'action du plancher et sa composante horizontale $\overrightarrow{F}$. Forces d'inertie : ${\overrightarrow{f}}_{ie}=m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$, axifuge, et ${\overrightarrow{f}}_{ic}=-2m\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}$. Le mouvement est horizontal : $\overrightarrow{N}=-m\overrightarrow{g}$ (la force de Coriolis est horizontale, car $\overrightarrow{\Omega }$ est vertical) et, sur le plan horizontal, $$m{\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}=\overrightarrow{F}+{\overrightarrow{f}}_{ie}+{\overrightarrow{f}}_{ic}⟹\overrightarrow{F}=m{\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}-{\overrightarrow{f}}_{ie}-{\overrightarrow{f}}_{ic}.$$ Avec $\Omega =2\pi /T=0,524\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ : ${\Omega }^{2}r=1,10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ et $2\Omega v=1,26\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Les deux forces d'inertie sont du même ordre : sur un manège, on ne peut pas oublier la force de Coriolis dès que l'on marche.

2) Marche radiale. Vitesse relative constante en ligne droite : ${\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}=\overrightarrow{0}$. Avec ${\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}=v{\overrightarrow{e}}_r$ et ${\overrightarrow{e}}_z\wedge {\overrightarrow{e}}_r={\overrightarrow{e}}_{\theta }$ : $${\overrightarrow{f}}_{ie}=m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r=65,8\mathrm{N}{\overrightarrow{e}}_r,{\overrightarrow{f}}_{ic}=-2m\Omega v{\overrightarrow{e}}_{\theta }=-75,4\mathrm{N}{\overrightarrow{e}}_{\theta }.$$ Le plancher doit donc fournir $$\overrightarrow{F}=-65,8\mathrm{N}{\overrightarrow{e}}_r+75,4\mathrm{N}{\overrightarrow{e}}_{\theta },F=\sqrt{65,8^2+75,4^2}=100\mathrm{N},$$ dirigée vers l'axe et vers l'avant dans le sens de rotation ($49^{\circ }$ de la direction de l'axe). Le passager se penche de $\phi =\arctan (100/589)=9,6^{\circ }$ de ce côté. Dans $\mathcal{R}$, la composante orthoradiale se comprend : en s'éloignant de l'axe, il doit acquérir une vitesse d'entraînement $\Omega r$ croissante, que le plancher lui donne. S'il marche vers l'axe, la force de Coriolis change de sens : $\overrightarrow{F}=-65,8\mathrm{N}{\overrightarrow{e}}_r-75,4\mathrm{N}{\overrightarrow{e}}_{\theta }$.

3) Marche orthoradiale dans le sens de rotation. Le mouvement relatif est circulaire uniforme, de rayon $r$ et de vitesse $v$ : ${\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}=-\frac{v^2}{r}{\overrightarrow{e}}_r$. Avec ${\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}=v{\overrightarrow{e}}_{\theta }$ et ${\overrightarrow{e}}_z\wedge {\overrightarrow{e}}_{\theta }=-{\overrightarrow{e}}_r$, la force de Coriolis vaut ${\overrightarrow{f}}_{ic}=+2m\Omega v{\overrightarrow{e}}_r$ : elle est axifuge, comme la force centrifuge. Donc $$\overrightarrow{F}=-m\left(\frac{v^2}{r}+{\Omega }^{2}r+2\Omega v\right){\overrightarrow{e}}_r=-\frac{m(v+\Omega r{)}^2}{r}{\overrightarrow{e}}_r,$$ soit $F=\frac{60\times (1,2+2,094{)}^2}{4}=163\mathrm{N}$. Dans $\mathcal{R}$ : par la composition des vitesses, la vitesse absolue est $(v+\Omega r){\overrightarrow{e}}_{\theta }$, et le passager décrit un cercle de rayon $r$ à cette vitesse ; il lui faut la force centripète $m(v+\Omega r{)}^2/r$, que seul le plancher peut fournir. Les deux référentiels donnent la même force réelle : les forces d'inertie ne font que réécrire, dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, l'accélération absolue.

4) Marche à contre-sens. ${\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}=-v{\overrightarrow{e}}_{\theta }$ : la force de Coriolis change de sens, ${\overrightarrow{f}}_{ic}=-2m\Omega v{\overrightarrow{e}}_r$, dirigée vers l'axe. Toujours ${\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}=-\frac{v^2}{r}{\overrightarrow{e}}_r$, d'où $$\overrightarrow{F}=-m\left(\frac{v^2}{r}+{\Omega }^{2}r-2\Omega v\right){\overrightarrow{e}}_r=-\frac{m(\Omega r-v{)}^2}{r}{\overrightarrow{e}}_r,$$ soit $F=\frac{60\times (2,094-1,2{)}^2}{4}=12,0\mathrm{N}$. Dans $\mathcal{R}$, la vitesse absolue n'est plus que $\Omega r-v=0,89\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : il faut quatorze fois moins de force qu'en marchant dans le sens de rotation.

5) Immobile dans le sol. $F$ s'annule pour $v=\Omega r=2,09\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : un pas soutenu, à contre-sens. Dans $\mathcal{R}$, la vitesse absolue est nulle : le passager est immobile dans le sol, et il n'a besoin d'aucune force horizontale, ce qui est cohérent. Dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, il décrit un cercle de rayon $r$ à la vitesse $\Omega r$, dans le sens opposé à la rotation, avec l'accélération centripète ${\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}=-{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$, sans aucune force réelle horizontale. Le principe fondamental se vérifie avec les seules forces d'inertie : $${\overrightarrow{f}}_{ie}=+m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r,{\overrightarrow{f}}_{ic}=-2m\Omega (\Omega r){\overrightarrow{e}}_r=-2m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r,$$ $${\overrightarrow{f}}_{ie}+{\overrightarrow{f}}_{ic}=-m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r=m{\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}.$$ La force de Coriolis vaut le double de la force centrifuge, en sens opposé : leur somme est exactement la force centripète du mouvement circulaire relatif. C'est le cas de toute étoile vue d'un manège : elle tourne autour de l'axe sans qu'aucune force ne la retienne.

Ce que l'exercice installe. Dans un référentiel en rotation, la force de Coriolis n'est pas une correction : dès que la vitesse relative est de l'ordre de $\Omega r$, elle est du même ordre que la force centrifuge, et son sens dépend du sens de la vitesse (orthoradiale si l'on marche radialement, radiale si l'on marche orthoradialement). La méthode : ${\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}$ connue, force réelle inconnue ; le contrôle : la composition des vitesses dans $\mathcal{R}$ redonne la même force réelle.