Marée statique, ordre de grandeur

• Dans le référentiel géocentrique, en translation, $M$ subit l'attraction de la Terre, celle de la Lune $m{\overrightarrow{\mathcal{G}}}_L(M)$, et la force d'inertie d'entraînement $-m{\overrightarrow{a}}_O=-m{\overrightarrow{\mathcal{G}}}_L(O)$, uniforme. Les deux dernières se regroupent en $m[{\overrightarrow{\mathcal{G}}}_L(M)-{\overrightarrow{\mathcal{G}}}_L(O)]$ : seule compte la variation du champ lunaire entre $O$ et $M$.
• Sur l'axe, à l'abscisse $x$ comptée de $O$ vers la Lune, le terme de marée par unité de masse vaut $\frac{\mathcal{G}{M}_L}{(d-x{)}^2}-\frac{\mathcal{G}{M}_L}{d^2}\approx \frac{2\mathcal{G}{M}_{L}x}{d^3}$, dirigé vers la Lune en $A$ ($x=R_T$) et à l'opposé en $B$ ($x=-R_T$) : il tire la mer vers l'extérieur des deux côtés, avec la norme $\frac{2\mathcal{G}{M}_L{R}_T}{d^3}=1.1\times 10^{-6}m.s^{-2}$, soit $1.1\times 10^{-7}g$. En $C$, à la distance $y$ de l'axe, le champ lunaire fait avec l'axe l'angle $y/d$ : le terme de marée vaut $\frac{\mathcal{G}{M}_L}{d^2}\frac{y}{d}$, dirigé vers $O$, de norme $\frac{\mathcal{G}{M}_L{R}_T}{d^3}=5.5\times 10^{-7}m.s^{-2}$. Pour le Soleil, les mêmes expressions donnent $5.1\times 10^{-7}m.s^{-2}$ en $A$ et $B$ : l'effet du Soleil, bien que son attraction soit $180$ fois plus forte en $O$, est $2,2$ fois plus faible que celui de la Lune, car il décroît en $1/d^3$.
• Le champ total s'écarte de $\overrightarrow{g}$ vers l'extérieur en $A$ et $B$, vers l'intérieur en $C$ : la surface de la mer s'allonge en un ellipsoïde dont le grand axe pointe vers la Lune, avec deux bourrelets opposés. La Terre tournant sous eux en un jour lunaire ($24h50min$), un lieu voit deux marées hautes par jour, à $12h25min$ d'intervalle.
• Le terme de marée dérive d'une énergie potentielle par unité de masse $\phi$ : le long de $OA$, $-\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}x}=\frac{2\mathcal{G}{M}_{L}x}{d^3}$ donne $\phi =-\frac{\mathcal{G}{M}_L{x}^2}{d^3}$ ; le long de $OC$, $-\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}y}=-\frac{\mathcal{G}{M}_{L}y}{d^3}$ donne $\phi =\frac{\mathcal{G}{M}_L{y}^2}{2d^3}$ (avec $\phi (O)=0$). La surface de la mer est une surface où $gz+\phi$ est constant, $z$ étant la hauteur au-dessus de la sphère de rayon $R_T$ ; d'où

$$z_A-z_C=\frac{\phi (C)-\phi (A)}{g}=\frac{3\mathcal{G}{M}_L{R}_T^2}{2g{d}^3}=0.54m,$$

et $0.25m$ pour le Soleil. Les marées de vives-eaux (Lune et Soleil alignés) et de mortes-eaux en découlent (de l'ordre de $0.8m$ et $0.3m$). Les marnages réels, qui atteignent plus de dix mètres dans la baie du Mont-Saint-Michel, relèvent de la dynamique des océans (résonances des bassins), au-delà de cette étude statique.