Pesanteur et gravitation : la verticale ne passe pas par le centre

La stratégie. On écrit l'équilibre du fil à plomb dans le référentiel terrestre, en rotation uniforme : la force centrifuge s'ajoute à la gravitation, et l'on développe au premier ordre en $q$, petit. Tout le reste est géométrie dans le plan méridien.

1) Le champ de pesanteur. Le fil à plomb est immobile dans le référentiel terrestre : pas de force de Coriolis, et l'équilibre s'écrit $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{T}+m\overrightarrow{\mathcal{G}}+m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$. Le fil est donc porté par $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{\mathcal{G}}+{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$, qui définit la verticale du lieu, et sa tension vaut $mg$. Dans le plan méridien, notons ${\overrightarrow{e}}_r$ le vecteur radial et ${\overrightarrow{e}}_N$ le vecteur horizontal dirigé vers le nord. Comme $HM=R_T\cos \lambda$ et $\overrightarrow{HM}=R_T\cos \lambda (\cos \lambda {\overrightarrow{e}}_r-\sin \lambda {\overrightarrow{e}}_N)$ : $$\overrightarrow{g}=-\left({\mathcal{G}}_0-{\Omega }^2{R}_T{\cos }^2\lambda \right){\overrightarrow{e}}_r-{\Omega }^2{R}_T\cos \lambda \sin \lambda {\overrightarrow{e}}_N.$$ La composante selon ${\overrightarrow{e}}_N$ n'intervient dans la norme qu'au second ordre en $q$ ; au premier ordre, $$g(\lambda )\approx {\mathcal{G}}_0\left(1-q{\cos }^2\lambda \right),$$ avec ${\Omega }^2{R}_T=(7,292\times 10^{-5}{)}^2\times 6,371\times 10^6=0,0339\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ et $1/q=9,820/0,0339=290$. Le modèle donne $g=9,786\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ à l'équateur et $9,820\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ au pôle, soit un écart de $0,034\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. On mesure $9,780$ et $9,832$ : un écart de $0,052\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. La force centrifuge en explique les deux tiers ($0,034/0,052=0,65$). Le reste vient de ce que la Terre est aplatie aux pôles (rayon équatorial plus grand de $21\mathrm{km}$, aplatissement $f\approx 1/298$) : à l'équateur, plus loin du centre, la gravitation est plus faible. Cet aplatissement est lui-même dû à la rotation, et $f$ est du même ordre que $q$.

(À gauche, en trait plein, le modèle de la sphère homogène ; les points sont les valeurs mesurées à l'équateur et au pôle.)

2) La verticale ne vise pas le centre. La direction de $-\overrightarrow{g}$ fait avec ${\overrightarrow{e}}_r$ l'angle $\epsilon$ tel que $$\tan \epsilon =\frac{{\Omega }^2{R}_T\cos \lambda \sin \lambda }{{\mathcal{G}}_0-{\Omega }^2{R}_T{\cos }^2\lambda }\approx q\sin \lambda \cos \lambda =\frac{q}{2}\sin 2\lambda .$$ Il est nul aux pôles et à l'équateur, où la force centrifuge est radiale ou nulle, et maximal à $45^{\circ }$ : ${\epsilon }_{\max }=q/2=1,72\times 10^{-3}\mathrm{rad}=0,099^{\circ }=5,9^{\prime }$. À Paris, $\epsilon =5,9^{\prime }$ (le calcul exact donne $5,88^{\prime }$). Le fil à plomb penche vers l'équateur. Prolongée vers le bas, la verticale de Paris passe à la distance $R_T\sin \epsilon =6371\times 1,71\times 10^{-3}=10,9\mathrm{km}$ du centre, au sud de celui-ci : la verticale ne passe pas par le centre de la Terre, sauf aux pôles et à l'équateur.

3) La Terre qui tournerait en 84 minutes. $g$ s'annule à l'équateur si ${\Omega }^2{R}_T={\mathcal{G}}_0$, soit $$T=2\pi \sqrt{\frac{R_T}{{\mathcal{G}}_0}}=2\pi \sqrt{\frac{R_T^3}{G{M}_T}}=2\pi \sqrt{\frac{(6,371\times 10^6{)}^3}{3,986\times 10^{14}}}=5061\mathrm{s}=84\min .$$ C'est la période d'un satellite en orbite circulaire au ras du sol, pour lequel la gravitation fournit exactement l'accélération centripète ${\Omega }^2{R}_T$. Ce n'est pas un hasard : un objet posé sur l'équateur d'une telle Terre décrirait, sans appui, le cercle de rayon $R_T$ à la vitesse d'un satellite rasant ; il serait en orbite. La Terre tourne dix-sept fois moins vite ($23\mathrm{h}56\min /84\min =17$), et $q=1/17^2\approx 1/290$.

4) Le poids change, pas la masse. Le pèse-personne mesure la force $mg$ et l'affiche divisée par $9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Entre le pôle et l'équateur, il indique une différence de $$70\times \frac{9,832-9,780}{9,81}=0,37\mathrm{kg},$$ dont $70\times 0,0339/9,81=0,24\mathrm{kg}$ dus à la seule force centrifuge : la personne « pèse » $0,37\mathrm{kg}$ de moins à l'équateur. La balance à fléau compare deux poids dans le même champ $\overrightarrow{g}$ : l'équilibre ne dépend que du rapport des masses, et elle indique $70\mathrm{kg}$ partout. Le poids dépend du lieu, rotation terrestre comprise ; la masse non.

Ce que l'exercice installe. Le poids est l'équilibre dans le référentiel terrestre : $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{\mathcal{G}}+{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$ contient la force centrifuge, ce qui en fait une manifestation statique du caractère non galiléen du référentiel terrestre. Ordres de grandeur : $q={\Omega }^2{R}_T/g\approx 1/290$, une variation de $g$ de $0,03\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ due à la rotation (deux tiers de l'écart mesuré, l'aplatissement faisant le reste), une verticale déviée d'au plus $6^{\prime }$, qui manque le centre de la Terre d'une dizaine de kilomètres.