Surface libre d'un seau tournant

• Le référentiel du seau est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du sol, supposé galiléen ; l'eau y est au repos. Sur une particule de fluide, la force d'inertie d'entraînement volumique vaut $\rho {\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$ et la force de Coriolis est nulle. L'équilibre, $-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P+\rho \overrightarrow{g}+\rho {\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r=\overrightarrow{0}$, donne en coordonnées cylindriques

$$\frac{\partial P}{\partial r}=\rho {\Omega }^{2}r,\frac{1}{r}\frac{\partial P}{\partial \theta }=0,\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g.$$

En intégrant la première, $P=\frac{1}{2}\rho {\Omega }^2{r}^2+f(z)$ ; la troisième impose $f^{\prime }(z)=-\rho g$, d'où $P(r,z)=C+\frac{1}{2}\rho {\Omega }^2{r}^2-\rho gz$.

• La surface libre est l'isobare $P=P_0$ : $z(r)=z_0+\frac{{\Omega }^2{r}^2}{2g}$, où $z_0$ est la hauteur d'eau sur l'axe. C'est un paraboloïde de révolution, creusé au centre.
• Le volume d'eau se conserve :

$${\int }_0^R(z_0+\frac{{\Omega }^2{r}^2}{2g})2\pi r\mathrm{d}r=\pi R^2{z}_0+\frac{\pi {\Omega }^2{R}^4}{4g}=\pi R^2{h}_0,$$

d'où $z_0=h_0-\frac{{\Omega }^2{R}^2}{4g}$ et, contre la paroi, $z(R)=h_0+\frac{{\Omega }^2{R}^2}{4g}$ : la surface descend au centre de ce dont elle monte au bord. Avec $\Omega =\frac{2\pi \times 120}{60}=12.6rad.s^{-1}$, $\frac{{\Omega }^2{R}^2}{4g}=4.0cm$ : $11.0cm$ d'eau sur l'axe, $19.0cm$ contre la paroi, $8.0cm$ de dénivellation. Le fond se découvre quand $z_0=0$, c'est-à-dire pour $\Omega =\frac{2}{R}\sqrt{g{h}_0}=24.3rad.s^{-1}$, soit $232tr.mi{n}^{-1}$ ; l'eau monte alors à $2h_0=30cm$ contre la paroi.