Dérivée particulaire de la masse volumique — exercice corrigé de mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) (chapitre 3)

Dérivée particulaire de la masse volumique

Description d'un fluide en mouvement · niveau 1 (application)

Énoncé

Dans un écoulement uniforme $v = v_{0} e_{x}$ , la masse volumique vaut $ρ (x, t) = ρ_{0} e^{- (x - v_{0} t) / ℓ}$ .

Calculer $\frac{D ρ}{D t}$ . L'écoulement est-il incompressible ?
Vérifier l'équation locale de conservation de la masse, puis calculer $div v$ . Conclure.

Terme local : $\frac{\partial ρ}{\partial t} = ρ_{0} \frac{v _{0}}{ℓ} e^{- (x - v_{0} t) / ℓ}$ . Terme convectif : $v \cdot grad ρ = v_{0} \frac{\partial ρ}{\partial x} = - ρ_{0} \frac{v _{0}}{ℓ} e^{- (x - v_{0} t) / ℓ}$ . La somme est nulle : $\frac{D ρ}{D t} = 0$ . Chaque particule conserve sa masse volumique (le profil est simplement transporté à la vitesse $v_{0}$ ) : l'écoulement est incompressible bien que $ρ$ ne soit pas uniforme.
$\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial ( ρ v _{0} )}{\partial x} = ρ_{0} \frac{v _{0}}{ℓ} e^{- (x - v_{0} t) / ℓ} - ρ_{0} \frac{v _{0}}{ℓ} e^{- (x - v_{0} t) / ℓ} = 0$ : la masse est bien conservée. Et $div v = \frac{\partial v _{0}}{\partial x} = 0$ , ce qu'exige un écoulement incompressible : les deux caractérisations ( $\frac{D ρ}{D t} = 0$ et $div v = 0$ ) concordent.