Écoulement irrotationnel et potentiel des vitesses — exercice corrigé de mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) (chapitre 3)

Écoulement irrotationnel et potentiel des vitesses

Description d'un fluide en mouvement · niveau 2

Énoncé

On considère l'écoulement plan stationnaire $v = a x e_{x} - a y e_{y}$ ( $a > 0$ ), dit « de point d'arrêt ». Est-il incompressible ? irrotationnel ? Si oui, déterminer un potentiel des vitesses et vérifier l'équation de Laplace.
Mêmes questions pour $v = k y e_{x} + k x e_{y}$ .

On donne, en cartésiennes, la composante sur $e_{z}$ du rotationnel d'un champ plan : $(rot v)_{z} = \frac{\partial v _{y}}{\partial x} - \frac{\partial v _{x}}{\partial y}$ .

Corrigé

$div v = \frac{\partial ( a x )}{\partial x} + \frac{\partial ( - a y )}{\partial y} = a - a = 0$ : incompressible. $(rot v)_{z} = \frac{\partial ( - a y )}{\partial x} - \frac{\partial ( a x )}{\partial y} = 0$ (les deux autres composantes sont nulles pour un champ plan indépendant de $z$ ) : irrotationnel. On cherche $ϕ$ tel que $\frac{\partial ϕ}{\partial x} = a x$ et $\frac{\partial ϕ}{\partial y} = - a y$ :

$ϕ (x, y) = \frac{a}{2} (x^{2} - y^{2}) (a ˋ une constante pr e ˋ s), Δ ϕ = \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} ϕ}{\partial y ^{2}} = a - a = 0.$

Au point $O$ , $v = 0$ : c'est un point d'arrêt (écoulement contre une paroi plane $y = 0$ , sur laquelle $v_{y} = 0$ ).

$div v = \frac{\partial ( k y )}{\partial x} + \frac{\partial ( k x )}{\partial y} = 0$ : incompressible ; $(rot v)_{z} = k - k = 0$ : irrotationnel. Le potentiel $ϕ = k x y$ convient ( $\frac{\partial ϕ}{\partial x} = k y$ , $\frac{\partial ϕ}{\partial y} = k x$ ) et $Δ ϕ = 0$ . C'est le même écoulement de point d'arrêt, tourné de $4 5^{\circ}$ .