Force volumique de viscosité dans un écoulement de Poiseuille — exercice corrigé de mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) (chapitre 3)

Force volumique de viscosité dans un écoulement de Poiseuille

Description d'un fluide en mouvement · niveau 2

Énoncé

Entre deux plaques fixes $y = \pm a$ , une huile ( $η = 0.1 Pa s$ ) s'écoule selon le profil $v_{x} (y) = v_{m a x} (1 - \frac{y ^{2}}{a ^{2}})$ , avec $a = 1 mm$ et $v_{m a x} = 0.1 m / s$ .

Établir, par un bilan sur une tranche d'épaisseur $d y$ , la force volumique de viscosité, et la calculer.
Le régime est stationnaire et l'accélération de chaque particule est nulle. Quelle autre force volumique équilibre la viscosité ? En déduire le gradient de pression selon $x$ .

Corrigé

La tranche $[y, y + d y]$ de surface $d S$ reçoit $η \frac{\partial v _{x}}{\partial y} (y + d y) d S$ du fluide situé au-dessus et $- η \frac{\partial v _{x}}{\partial y} (y) d S$ du fluide situé en dessous, soit $d F_{x} = η \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}} d y d S$ et

$f_{visc} = η \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}} e_{x} = - \frac{2 η v _{m a x}}{a ^{2}} e_{x},$

$f_{visc} = \frac{2 \times 0 , 1 \times 0 , 1}{( 1 0 ^{- 3} ) ^{2}} = 2 \times 1 0^{4} N / m^{3} .$

Elle est uniforme et freine l'écoulement.

Le poids est vertical (selon $e_{y}$ si les plaques sont horizontales) ; selon $e_{x}$ , seule la force de pression volumique $- \frac{\partial P}{\partial x} e_{x}$ peut équilibrer la viscosité : $- \frac{\partial P}{\partial x} - \frac{2 η v _{m a x}}{a ^{2}} = 0$ , soit $\frac{\partial P}{\partial x} = - 2 \times 1 0^{4} Pa / m$ : la pression baisse de $200 Pa$ par centimètre dans le sens de l'écoulement. C'est ce gradient qui « pousse » le fluide visqueux.