L'aorte qui respire : un bilan de masse dans un tuyau qui gonfle

La stratégie. On fait le bilan sur un volume fixe dans l'espace — la portion d'aorte entre deux plans —, même si sa paroi latérale bouge : le sang n'entre et ne sort que par les deux sections droites. La masse contenue varie parce que la section varie. Ensuite, on vérifie une solution proposée, sans résoudre d'équation.

1) Le bilan de la tranche. La tranche contient la masse $\rho S(x,t)\mathrm{d}x$. Pendant $\mathrm{d}t$, il entre par la section $x$ la masse $\rho S(x,t)v(x,t)\mathrm{d}t$ et il sort par la section $x+\mathrm{d}x$ la masse $\rho S(x+\mathrm{d}x,t)v(x+\mathrm{d}x,t)\mathrm{d}t$ ; la paroi, imperméable, ne laisse rien passer, même quand elle se déplace. La variation de masse est la différence : $$\rho \frac{\partial S}{\partial t}\mathrm{d}x\mathrm{d}t=\rho [(Sv)(x,t)-(Sv)(x+\mathrm{d}x,t)]\mathrm{d}t=-\rho \frac{\partial (Sv)}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}t,$$ d'où, $\rho$ étant constante, $\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\partial (Sv)}{\partial x}=0$. Dans un tuyau rigide, $\frac{\partial S}{\partial t}=0$ : le débit $D_V=Sv$ ne dépend pas de $x$, même si la section varie le long du tuyau, et même si $D_V$ varie dans le temps. C'est la conservation du débit ; elle tombe dès que le tuyau peut stocker du fluide.

2) Le bilan intégré : un réservoir élastique. En intégrant de $0$ à $L$, et puisque $D_V=Sv$ : $$D_V(0,t)-D_V(L,t)={\int }_0^L\frac{\partial S}{\partial t}\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_0^{L}S\mathrm{d}x:$$ la différence entre le débit entrant et le débit sortant est la vitesse à laquelle le volume de l'aorte augmente. Un diamètre multiplié par $1,08$ donne une section multipliée par $1,08^2=1,166$ : $\Delta S/S_0=16,6\%$. Le volume stocké vaut $$\Delta V=L\Delta S=0,40\times 0,166\times 5,0\times 10^{-4}=3,3\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^3=33\mathrm{mL},$$ la moitié du volume éjecté : pendant la systole, la moitié du sang part vers l'aval, l'autre moitié gonfle l'aorte. Le débit moyen d'éjection vaut $70/0,30=233\mathrm{mL}{\mathrm{s}}^{-1}$. Pendant la diastole, la valve aortique est fermée, $D_V(0,t)=0$, et l'aorte qui se rétracte continue d'alimenter l'aval : $D_V(L,t)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_0^{L}S\mathrm{d}x>0$. Le débit dans les organes, pulsé à la sortie du cœur, devient presque continu.

3) L'onde de pouls. Avec $s=x-ct$, $\frac{\partial S}{\partial t}=-c{F}^{\prime }(s)$ et $\frac{\partial (Sv)}{\partial x}=(FG{)}^{\prime }(s)$. L'équation de la question 1) devient $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(FG-cF)=0$ : $FG-cF$ est une constante. En avant du front, $F=S_0$ et $G=0$ : la constante vaut $-c{S}_0$, et partout $$v=c\left(1-\frac{S_0}{S}\right).$$ Au maximum de dilatation, $S=1,166S_0$ : $$v=5\times \left(1-\frac{1}{1,166}\right)=0,71\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ du même ordre que les mesures Doppler ($0,8$ à $1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$) : le modèle, qui ignore la viscosité et la forme réelle de l'impulsion, relie correctement deux mesures indépendantes, la dilatation de la paroi et la vitesse du sang. Le sang va sept fois moins vite que l'onde : l'onde n'est pas le sang qui avance, c'est la dilatation qui se transmet, comme une vague n'est pas l'eau qui la porte. Pendant les $0,30\mathrm{s}$ de la systole, l'onde parcourt $5\times 0,30=1,5\mathrm{m}$, bien plus que les $0,40\mathrm{m}$ de l'aorte thoracique : toute l'aorte est dilatée en même temps, ce que supposait la question 2).

4) Cas limites. Pour une vitesse $v$ finie, $c\to \infty$ impose $S\to S_0$ : le tuyau rigide ne se dilate pas, et le débit change au même instant sur toute sa longueur (on retrouve la conservation du débit de la question 1). Chez la personne âgée, la même vitesse $0,71\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ demande $1-S_0/S=0,071$, soit $S=1,077S_0$ : une dilatation de $7,7\%$ en section, $3,8\%$ en diamètre. Le volume stocké tombe à $0,40\times 0,077\times 5,0\times 10^{-4}=15\mathrm{mL}$ : l'aorte raide amortit deux fois moins. Le cœur doit envoyer vers l'aval, pendant la systole, la plus grande partie du volume éjecté, dans des artères qui l'accueillent mal : la pression monte davantage pendant la systole et retombe davantage pendant la diastole. C'est l'hypertension systolique du sujet âgé, et la vitesse de l'onde de pouls est justement mesurée en clinique pour évaluer la rigidité artérielle.

Ce que l'exercice installe. Un bilan de masse se fait sur une tranche fixe : variation du contenu = débit entrant − débit sortant. À section constante dans le temps, il redonne la conservation du débit ; à section variable, le débit n'est plus le même le long du tuyau, et le tuyau est un réservoir. Une solution en $x-ct$ se vérifie et relie deux mesures indépendantes ; un réservoir élastique lisse un débit pulsé.