La soufflerie : stationnaire pour qui ? Accélérée sans dépendre du temps

La stratégie. « Stationnaire » est une propriété du champ dans un référentiel donné : on choisit celui où rien ne dépend du temps. Dans ce référentiel, la conservation du débit donne $v(x)$ ; une particule qui avance dans un champ qui varie d'un point à l'autre change de vitesse, même si rien ne change en un point fixe : c'est le terme convectif, qui s'écrit $v\frac{\partial v}{\partial x}$ à une dimension.

1) Stationnaire dans quel référentiel ? Dans le référentiel de la route, un point fixe voit l'air au repos, puis brusquement chassé au passage de la voiture, puis le sillage qui s'apaise : la vitesse en ce point dépend du temps, le champ n'est pas stationnaire. Dans le référentiel de la voiture, en translation rectiligne uniforme, la composition des vitesses donne ${\overrightarrow{v}}_{/\text{voiture}}={\overrightarrow{v}}_{/\text{route}}-\overrightarrow{V}$ : loin devant, l'air arrive à $-\overrightarrow{V}$, et le motif de l'écoulement autour de la carrosserie est le même à chaque instant ; le champ y est stationnaire (en moyenne : les tourbillons du sillage fluctuent). La soufflerie reproduit ce second point de vue : la maquette est fixe et l'air arrive sur elle à $40\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Mais elle doit le reproduire en entier : dans le référentiel de la voiture, la route défile à $-\overrightarrow{V}$, et l'air qui adhère à la route a cette vitesse. Sur un plancher fixe, l'air adhérerait à une paroi immobile, et une couche freinée, qui n'existe pas sur la route, s'épaissirait sous la maquette : le tapis roulant restitue la bonne condition d'adhérence.

2) Débit et vitesses. $S_1=7,2{\mathrm{m}}^2$ et $S_2=0,80{\mathrm{m}}^2$ : le rapport de contraction vaut $9$. Dans le référentiel du laboratoire, l'écoulement établi est stationnaire, la masse volumique constante : le débit volumique est le même dans toutes les sections, $$D_V=S_2{V}_2=0,80\times 40=32{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1},V_1=\frac{D_V}{S_1}=\frac{32}{7,2}=4,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ et, dans le convergent, $v(x)=D_V/S(x)$.

3) Une particule accélère dans un champ stationnaire. À une dimension, l'accélération d'une particule de fluide qui passe en $x$ à l'instant $t$ est $$a=\frac{\partial v}{\partial t}+v\frac{\partial v}{\partial x}.$$ En régime établi, le premier terme (local) est nul ; le second (convectif) ne l'est pas, parce que la particule passe d'une section large à une section étroite. Comme $v$ ne dépend que de $x$, $a=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{v^2}{2}\right)$. Sa moyenne sur la longueur du convergent est donc $$⟨a⟩=\frac{1}{L}{\int }_0^L\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{v^2}{2}\right)\mathrm{d}x=\frac{V_2^2-V_1^2}{2L}=\frac{40^2-4,44^2}{2\times 3,0}=263\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}\approx 27g.$$ Avec $v=D_V/S$, $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac{D_V}{S^2}\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}$ et $$a(x)=-\frac{D_V^2}{S^3}\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}=-\frac{30(S_1-S_2)}{L}{\xi }^2(1-\xi {)}^2.$$ Au milieu ($\xi =1/2$) : $S=4,0{\mathrm{m}}^2$, $v=8,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}=-4,0\mathrm{m}$, d'où $a=32^2\times 4,0/4,0^3=64\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. En $x_m=2,52\mathrm{m}$ ($\xi =0,84$) : $S=1,00{\mathrm{m}}^2$, $v=31,9\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}x}=-1,16\mathrm{m}$, et $$a_{\max }=\frac{32^2\times 1,16}{1,00^3}=1,17\times 10^3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}\approx 120g.$$ L'accélération est très inégalement répartie : faible au début, où la section diminue lentement et où l'air est lent, elle culmine vers la fin, où une petite variation relative de section s'applique à un air déjà rapide. Rien de cela n'est visible en un point fixe, où la vitesse est constante.

4) Le démarrage est quasi stationnaire. La vitesse de la veine croît de $40\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ en $60\mathrm{s}$ : le terme local y vaut $\frac{\partial v}{\partial t}=0,67\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ (neuf fois moins dans la chambre). Le terme convectif, lui, est proportionnel au carré de la vitesse : quand la veine est à $V$, sa moyenne sur le convergent vaut $V^2(1-1/81)/(2L)\approx V^2/(2L)$. À pleine vitesse, il est quatre cents fois plus grand que le terme local (et presque deux mille fois à son maximum) ; à $20\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, cent fois. Les deux termes ne sont comparables que si $V^2/(2L)\approx 0,67\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, soit $V\approx 2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, atteint en $3\mathrm{s}$. Passé ces premières secondes, le champ à chaque instant est celui du régime établi à la vitesse du moment : l'écoulement est quasi stationnaire.

5) Pourquoi une contraction. Les grilles et nids d'abeilles freinent l'air : leur effet (et leur perte d'énergie) croît vite avec la vitesse, d'où leur place dans la chambre, où l'air est neuf fois plus lent. Si les écarts $\delta v$ gardent dans le convergent l'ordre de grandeur qu'ils ont dans la chambre, leur importance relative passe de $\delta v/V_1$ à $\delta v/V_2$, neuf fois plus petite : la contraction rend l'écoulement d'essai plus uniforme sans rien filtrer. (En réalité, les écarts de vitesse dans le sens de l'écoulement diminuent même en valeur absolue : l'effet est plus fort encore.)

Ce que l'exercice installe. « Stationnaire » est relatif à un référentiel : on choisit celui où le champ ne dépend pas du temps, et l'on y écrit les conditions d'adhérence aux parois mobiles. Une particule accélère dans un écoulement stationnaire (terme convectif), et à une dimension $v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{v^2}{2}\right)$, ce qui donne la moyenne sans intégrer. On compare le terme local et le terme convectif par leurs ordres de grandeur pour justifier le régime quasi stationnaire.