mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Le jaugeage de la Seine à Paris : un débit est un flux

Description d'un fluide en mouvement · B. Débits et conservation de la masse · niveau 2

Énoncé

Une équipe d'hydrométrie mesure le débit de la Seine en amont du pont d'Austerlitz. Dans une section droite du fleuve, perpendiculaire aux quais, large de $150 m$ entre deux murs de quai verticaux, elle choisit dix verticales d'abscisses $x$ (comptées depuis le quai de rive gauche). Sur chacune, elle mesure la profondeur $h (x)$ et, avec un courantomètre descendu à plusieurs profondeurs, la vitesse moyenne sur la verticale $v ˉ (x) = \frac{1}{h} \int_{0}^{h} v (x, z) d z$ , où $z$ est compté depuis le fond. La vitesse $v = v (x, z) u$ est partout parallèle à l'axe du fleuve, de vecteur unitaire $u$ dirigé vers l'aval.

$x$ (m)	$0$	$10$	$25$	$45$	$65$	$85$	$105$	$125$	$140$	$150$
$h$ (m)	$3, 2$	$3, 6$	$4, 2$	$4, 8$	$5, 2$	$5, 3$	$5, 0$	$4, 4$	$3, 8$	$3, 4$
$v ˉ$ ( $m s^{- 1}$ )	$0$	$0, 32$	$0, 45$	$0, 52$	$0, 56$	$0, 57$	$0, 55$	$0, 48$	$0, 36$	$0$

1) Écrire le débit volumique $D_{V}$ comme le flux de $v$ à travers la section $S$ orientée vers l'aval. Montrer que $D_{V} = \int_{0}^{150 m} h (x) v ˉ (x) d x$ , puis le calculer par la méthode des trapèzes. Que vaut le flux si l'on oriente la section vers l'amont ?

2) On appelle vitesse débitante le quotient $U = D_{V} / S$ du débit par l'aire de la section. Calculer l'aire mouillée (trapèzes), $U$ , et le débit massique d'eau $D_{m}$ .

3) Sur une verticale, le profil de vitesse est bien représenté par la loi $v (z) = v_{s} (\frac{z}{h})^{1/7}$ , où $v_{s}$ est la vitesse en surface. Calculer le rapport $v ˉ / v_{s}$ . À quelle hauteur au-dessus du fond la vitesse ponctuelle est-elle égale à la vitesse moyenne sur la verticale ? En déduire la règle des hydromètres pressés, qui ne font qu'une mesure par verticale : « à 0,6 de la profondeur, comptée depuis la surface ». Un flotteur lâché en surface donne $v_{s}$ : par quel coefficient faut-il multiplier sa vitesse pour obtenir $v ˉ$ ?

4) Le bateau de jaugeage traverse en biais : son trajet fait l'angle $α = 3 0^{\circ}$ avec la normale aux quais, et l'on intègre les mesures sur la surface verticale $S^{'}$ qui s'appuie sur ce trajet. Exprimer le flux de $v$ à travers $S^{'}$ (même orientation vers l'aval) et montrer qu'il est égal à $D_{V}$ . Plus généralement, pourquoi toutes les sections du fleuve comprises entre deux mêmes repères, sans affluent ni prise d'eau, sont-elles traversées par le même débit ?

5) L'eau transporte des matières en suspension (limons, argiles) à la concentration massique uniforme $c = 30 mg L^{- 1}$ . Montrer que le débit massique de ces matières est le flux du vecteur $c v$ à travers la section, et le calculer en $kg s^{- 1}$ puis en tonnes par jour. Que transporterait le fleuve en un an à ce régime ?

6) Lors de la crue de janvier 1910, le débit a atteint environ $2400 m^{3} s^{- 1}$ pour une section mouillée d'environ $1600 m^{2}$ , et l'eau portait de l'ordre de $0, 3 kg m^{- 3}$ de sédiments. Calculer la vitesse débitante et le flux de sédiments en tonnes par jour ; comparer à la question 5). Le jaugeage dure une heure : peut-on traiter l'écoulement comme stationnaire pendant la mesure, en temps ordinaire ? pendant la montée de la crue de 1910, où le débit est passé d'environ $800$ à $2400 m^{3} s^{- 1}$ en huit jours ?

Corrigé

La stratégie. Un débit volumique est un flux : $D_{V} = \iint_{S} v \cdot n d S$ . On découpe la section en bandes verticales de largeur $d x$ ; sur chacune, l'intégrale de la vitesse sur la profondeur vaut $h v ˉ$ . Il reste une intégrale sur $x$ , connue en dix points : on la calcule par trapèzes. Ensuite, tout est flux : celui de $c v$ pour les sédiments, celui de $v$ à travers une autre surface pour le transect oblique.

1) Le débit est un flux. La section droite, orientée vers l'aval, a pour normale $n = u$ ; un élément $d S = d x d z$ est traversé par le volume $v \cdot n d S d t$ pendant $d t$ . Donc $D_{V} = \iint_{S} v \cdot n d S = \int_{0}^{150 m} (\int_{0}^{h (x)} v (x, z) d z) d x = \int_{0}^{150 m} h (x) v ˉ (x) d x .$ La grandeur $q (x) = h v ˉ$ , en $m^{2} s^{- 1}$ , est le débit par mètre de largeur. Aux dix verticales, $q$ vaut $0$ ; $1, 152$ ; $1, 890$ ; $2, 496$ ; $2, 912$ ; $3, 021$ ; $2, 750$ ; $2, 112$ ; $1, 368$ ; $0 m^{2} s^{- 1}$ . La méthode des trapèzes remplace $q$ par une fonction affine entre deux verticales : l'intervalle $[x_{i}, x_{i + 1}]$ apporte $\frac{q _{i} + q _{i + 1}}{2} (x_{i + 1} - x_{i})$ , soit successivement $5, 8$ ; $22, 8$ ; $43, 9$ ; $54, 1$ ; $59, 3$ ; $57, 7$ ; $48, 6$ ; $26, 1$ ; $6, 8 m^{3} s^{- 1}$ , et $D_{V} = 325 m^{3} s^{- 1} .$ C'est l'ordre de grandeur du débit moyen interannuel de la Seine à Paris, environ $310 m^{3} s^{- 1}$ . Orientée vers l'amont, la section a pour normale $- u$ : le flux vaut $- 325 m^{3} s^{- 1}$ . Le signe d'un débit dit le sens de traversée par rapport à l'orientation choisie ; l'eau, elle, coule toujours vers l'aval.

2) Vitesse débitante et débit massique. Par la même méthode, l'aire mouillée vaut $S = \int_{0}^{150 m} h d x = 682 m^{2}$ , d'où $U = \frac{D _{V}}{S} = \frac{325}{682} = 0, 48 m s^{- 1}, D_{m} = ρ D_{V} = 1, 00 \times 1 0^{3} \times 325 = 3, 3 \times 1 0^{5} kg s^{- 1} .$ $U$ est plus petite que la plus grande vitesse moyenne mesurée ( $0, 57 m s^{- 1}$ ) : le fluide est freiné le long des quais et du fond, où il adhère. C'est la vitesse qu'aurait un écoulement uniforme de même débit dans la même section.

3) Où mesurer. La moyenne du profil sur la verticale vaut $v ˉ = \frac{1}{h} \int_{0}^{h} v_{s} (\frac{z}{h})^{1/7} d z = v_{s} \int_{0}^{1} s^{1/7} d s = \frac{7}{8} v_{s} = 0, 875 v_{s} .$ La vitesse ponctuelle égale cette moyenne quand $(z / h)^{1/7} = 7/8$ , soit $z / h = (7/8)^{7} = 0, 39$ : à $0, 39 h$ au-dessus du fond, c'est-à-dire à $0, 61 h$ sous la surface. D'où la règle « une mesure à 0,6 de la profondeur » : avec un seul point par verticale, on obtient $v ˉ$ à $1 %$ près. Le flotteur de surface va plus vite que la moyenne : on multiplie sa vitesse par $0, 875$ , l'ordre de grandeur des « coefficients de flotteur » des hydromètres ( $0, 85$ environ, la vitesse de surface étant un peu freinée par le vent et les bords).

4) Le transect oblique. Le trajet incliné de $α$ a pour longueur $150/ cos α = 173 m$ : chaque élément $d S^{'}$ de $S^{'}$ est plus grand que l'élément de section droite qu'il remplace, dans le rapport $1/ cos α = 1, 155$ . Mais sa normale $n^{'}$ fait l'angle $α$ avec $u$ : seule la composante normale $v \cdot n^{'} = v cos α$ fait traverser de l'eau. Les deux facteurs se compensent, $d S^{'} cos α = d x d z$ , et le flux à travers $S^{'}$ est encore $325 m^{3} s^{- 1}$ . Plus généralement, deux sections $S$ et $S^{'}$ du fleuve découpent avec le fond, les quais et la surface libre un volume fermé, fixe ; l'eau ne traverse ni le fond ni les quais, et la vitesse est tangente à la surface libre : le débit qui entre par $S$ ne peut que sortir par $S^{'}$ , si la masse d'eau contenue ne varie pas (écoulement stationnaire, masse volumique constante). Le débit se conserve le long du fleuve, qui est un tube de courant.

5) Le flux d'une grandeur transportée. Pendant $d t$ , l'élément $d S$ est traversé par le volume $v \cdot n d S d t$ d'eau, qui porte la masse $c v \cdot n d S d t$ de matières : leur débit massique est le flux de $c v$ , qui vaut $c D_{V}$ si $c$ est uniforme. Avec $c = 30 mg L^{- 1} = 0, 030 kg m^{- 3}$ : $D_{m, MES} = 0, 030 \times 325 = 9, 8 kg s^{- 1} = 840 t par jour .$ À ce régime, le fleuve emporterait $0, 31 Mt$ (millions de tonnes) par an.

6) La crue de 1910 et la stationnarité. La vitesse débitante vaut $2 400/1 600 = 1, 5 m s^{- 1}$ , trois fois celle du jour de la mesure. Le flux de sédiments, $0, 3 \times 2400 = 720 kg s^{- 1}$ , fait $62000 t$ par jour : en un jour de crue passe le cinquième de ce que le fleuve transporterait en un an de régime ordinaire. Le bilan annuel des sédiments est fait par les crues, ce que l'on comprend : la concentration et le débit augmentent ensemble.

En temps ordinaire, le débit de la Seine varie de quelques pour cent par jour : sur l'heure du jaugeage, sa variation relative est de l'ordre de $1 0^{- 3}$ , et l'écoulement est stationnaire à la précision de la mesure. Pendant la montée de 1910, le débit croissait en moyenne de $1600 m^{3} s^{- 1}$ en $8 \times 24 = 192 h$ , soit environ $8 m^{3} s^{- 1}$ par heure : $0, 35 %$ par heure du débit de crue. Une mesure d'une heure reste acceptable, à condition de la dater ; une seule verticale explorée lentement ne l'aurait pas été. Stationnaire veut dire : lentement variable devant la durée de l'observation.

Ce que l'exercice installe. Un débit est l'intégrale de $v \cdot n d S$ : on découpe la section, on somme, et l'orientation fixe le signe ; seule la composante normale compte, d'où le même débit à travers toute surface qui ferme le même tube de courant. La vitesse débitante est le débit divisé par l'aire ; un profil donné suffit à savoir où mesurer ; le flux d'une grandeur transportée est le flux de (concentration $\times$ vitesse). Et « stationnaire » se juge en comparant des durées.

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