Le palier lisse d'une turbine : la loi de Petroff

La stratégie. Pas d'équation locale : un bilan de forces sur une couche d'huile, dont l'accélération est nulle, donne une contrainte uniforme ; la loi de Newton et l'adhérence donnent alors un profil affine (écoulement de Couette). La contrainte intégrée sur la surface de l'arbre donne une force, son moment un couple, et le couple fois la vitesse angulaire une puissance, que l'huile emporte en s'échauffant.

1) Le profil de Couette. L'écoulement est stationnaire, et la vitesse d'une couche ne varie pas le long du mouvement : $\frac{\partial v}{\partial t}=0$ et $v\frac{\partial v}{\partial x}=0$, l'accélération de chaque particule est nulle. La somme des forces sur la couche $[y,y+\mathrm{d}y]$ est donc nulle. Selon ${\overrightarrow{u}}_x$ : le fluide situé au-dessus (côté des $y$ croissants) exerce $+\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}(y+\mathrm{d}y)S$ ; le fluide situé au-dessous exerce, par le principe des actions réciproques, $-\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}(y)S$ ; les forces de pression sur les extrémités de la couche se compensent (pression uniforme le long du mouvement), et le poids, normal au mouvement à l'échelle de la couche déroulée, n'a pas de composante selon ${\overrightarrow{u}}_x$ en moyenne sur le tour. Donc $$\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}(y+\mathrm{d}y)=\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}(y):$$ la contrainte $\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}$ est uniforme dans le jeu, la pente du profil est constante et le profil est affine. L'adhérence impose $v(0)=U$ (arbre) et $v(e)=0$ (coussinet) : $$v(y)=U\left(1-\frac{y}{e}\right),\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}=-\frac{\eta U}{e}.$$

2) Contrainte, couple, puissance. L'huile (côté $y>0$) exerce sur l'arbre la force par unité de surface $\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}{\overrightarrow{u}}_x=-\frac{\eta U}{e}{\overrightarrow{u}}_x$ : elle le freine, avec la contrainte $$\tau =\frac{\eta U}{e}=\frac{0,030\times 31,4}{1,0\times 10^{-4}}=9,4\times 10^3\mathrm{Pa},$$ où $\omega =2\pi N/60=314\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $U=\omega R=31,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Sur la surface latérale de l'arbre, $2\pi RL$, la force totale vaut $F=\tau 2\pi RL=9,42\times 10^3\times 2\pi \times 0,10\times 0,20=1,18\times 10^3\mathrm{N}$ ; chaque force élémentaire est tangente, à la distance $R$ de l'axe : le couple de frottement vaut $$\Gamma =FR=\frac{\eta \omega R}{e}2\pi RLR=\frac{2\pi \eta R^{3}L\omega }{e}=118\mathrm{N}\mathrm{m},$$ et la puissance dissipée $\mathcal{P}=\Gamma \omega =\frac{2\pi \eta R^{3}L{\omega }^2}{e}=37\mathrm{kW}$. C'est la loi de Petroff : couple proportionnel à $\eta$, à $\omega$ et à $R^{3}L/e$.

3) Régime laminaire. $\frac{\rho Ue}{\eta }=\frac{870\times 31,4\times 1,0\times 10^{-4}}{0,030}=91\ll 10^3$ : l'écoulement est laminaire, et le profil affine a bien lieu. Le jeu est si mince que la viscosité l'emporte largement sur l'inertie, malgré les $31\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ de la paroi.

4) Le débit d'huile. Toute la puissance dissipée passe dans l'huile, qui l'emporte : $D_{m}c\Delta T=\mathcal{P}$, d'où $$D_m=\frac{\mathcal{P}}{c\Delta T}=\frac{3,72\times 10^4}{2000\times 15}=1,24\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-1},$$ soit $1,24/870=1,43\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}=86\mathrm{L}$ par minute, pour un seul palier. D'où les centrales de graissage des grosses machines, avec pompes, réfrigérants et filtres.

5) Cas limites. À froid, $\eta$ est dix fois plus grande : à pleine vitesse, le couple passerait à $1180\mathrm{N}\mathrm{m}$ et la puissance dissipée à $372\mathrm{kW}$, dans un palier refroidi pour $37\mathrm{kW}$ ; l'huile chaufferait brutalement, et inégalement. À $300\mathrm{tr}\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$, $\mathcal{P}\propto \eta {\omega }^2$ est cent fois plus petite : $3,7\mathrm{kW}$. On lance donc lentement, le temps que l'huile se réchauffe et que sa viscosité baisse. La dépendance $\eta (T)$ est un rappel : si le palier chauffe, $\eta$ baisse, la puissance dissipée baisse, et la température redescend ; s'il refroidit, l'inverse. Enfin, le couple est en $1/e$, mais le jeu ne sert pas qu'à tourner : l'arbre porte des tonnes, et, chargé, il se décentre ; l'huile entraînée dans le coin qui se rétrécit y crée une surpression qui le porte, et cette portance est d'autant plus grande que le jeu est faible. Un jeu mince coûte du frottement et achète la portance : c'est le compromis de tout palier.

Ce que l'exercice installe. Le profil de Couette s'obtient par un bilan de forces sur une couche, sans équation locale : accélération nulle, contrainte uniforme, profil affine fixé par l'adhérence. La contrainte $\eta U/e$ intégrée sur une surface donne une force, son moment un couple, le couple une puissance dissipée, qui se retrouve dans l'échauffement du fluide. Et l'on vérifie le régime avant de croire le profil.