Lignes de courant autour d'un cylindre, en Python

$x v_{x} + y v_{y} = U x - \frac{U R ^{2}}{r ^{4}} (x^{3} - x y^{2} + 2 x y^{2}) = U x - \frac{U R ^{2} x ( x ^{2} + y ^{2} )}{r ^{4}} = U x (1 - \frac{R ^{2}}{r ^{2}})$ . Sur le cylindre ( $r = R$ ), $v \cdot O M = 0$ : la vitesse est tangente à la paroi, le fluide ne la traverse pas. En $(\pm R, 0)$ , $v_{x} = U (1 - 1) = 0$ et $v_{y} = 0$ : ce sont deux points d'arrêt. En $(0, \pm R)$ , $v_{x} = U (1 + 1) = 2 U$ , $v_{y} = 0$ : la vitesse double sur les flancs.
On avance pas à pas le long de $v / v$ , en évaluant la direction au milieu du pas (méthode du point milieu, plus précise qu'un simple pas d'Euler) :


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

U, R = 1.0, 1.0                       # vitesse loin du cylindre, rayon

def v(x, y):
    """Champ des vitesses fourni par l'énoncé."""
    r4 = (x**2 + y**2)**2
    return U*(1 - R**2*(x**2 - y**2)/r4), -2*U*R**2*x*y/r4

def ligne(x, y, ds=0.01, xmax=3.0):
    """Ligne de courant issue de (x, y), parcourue dans le sens de v."""
    X, Y = [x], [y]
    while x < xmax and len(X) < 10000:
        vx, vy = v(x, y); n = np.hypot(vx, vy)
        xm, ym = x + ds/2*vx/n, y + ds/2*vy/n     # point milieu
        vx, vy = v(xm, ym); n = np.hypot(vx, vy)
        x, y = x + ds*vx/n, y + ds*vy/n
        X.append(x); Y.append(y)
    return X, Y

for y0 in [-2, -1.4, -0.9, -0.5, -0.2, 0.2, 0.5, 0.9, 1.4, 2]:
    plt.plot(*ligne(-3.0, y0), 'b')
t = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
plt.fill(R*np.cos(t), R*np.sin(t), 'lightgray')
plt.axis('equal'); plt.show()

Le programme donne la figure ci-dessous. Les lignes contournent le cylindre sans y pénétrer ; elles se resserrent sur les flancs, là où la vitesse est plus grande (la conservation du débit entre deux lignes voisines impose $v \times$ écartement $\approx$ cte) ; elles retrouvent leur ordonnée initiale en aval, par symétrie. La ligne $y_{0} = 0$ aboutit au point d'arrêt amont.

Énoncé

Corrigé