Vitesse limite d'une bille d'acier dans l'eau — exercice corrigé de mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) (chapitre 3)

Vitesse limite d'une bille d'acier dans l'eau

Description d'un fluide en mouvement · niveau 2

Énoncé

Une bille d'acier ( $ρ_{s} = 7800 kg / m^{3}$ ) de diamètre $D = 1 cm$ tombe dans l'eau ( $ρ = 1000 kg / m^{3}$ , $η = 1 \times 1 0^{- 3} Pa s$ ) ; $g = 9.81 m / s^{2}$ . Déterminer sa vitesse limite à l'aide du graphe $C_{x} (R e)$ .

Corrigé

À la vitesse limite, le poids équilibre la poussée d'Archimède et la traînée : $(ρ_{s} - ρ) \frac{4}{3} π R^{3} g = F$ .

Hypothèse linéaire (Stokes). $6 π η R v = (ρ_{s} - ρ) \frac{4}{3} π R^{3} g$ donne $v = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ ) g R ^{2}}{9 η} \approx 371 m / s$ , d'où $R e = \frac{ρ v D}{η} \approx 4 \cdot 1 0^{6}$ : absurde, très loin de $R e ≲ 1$ . Hypothèse rejetée.

Hypothèse quadratique. $\frac{1}{2} ρ v^{2} π R^{2} C_{x} = (ρ_{s} - ρ) \frac{4}{3} π R^{3} g$ donne

$v = \frac{8 ( ρ _{s} - ρ ) g R}{3 ρ C _{x}} = \frac{8 \times 6800 \times 9 , 81 \times 5 \cdot 1 0 ^{- 3}}{3 \times 1000 \times 0 , 4} \approx 1.5 m / s$

avec $C_{x} \approx 0, 4$ . Vérification : $R e = \frac{1000 \times 1 , 5 \times 0 , 01}{1 0 ^{- 3}} \approx 1, 5 \cdot 1 0^{4}$ , dans le domaine du plateau ; le graphe y donne $C_{x} \approx 0, 39$ , ce qui ne change pas la vitesse au chiffre près. La bille tombe à environ $1.5 m / s$ .