Écoulement de Poiseuille plan par l'équation de Navier-Stokes — exercice corrigé de mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) (chapitre 4)

Écoulement de Poiseuille plan par l'équation de Navier-Stokes

Dynamique locale et bilans macroscopiques · niveau 2

Énoncé

Une huile ( $ρ = 900 k g . m^{- 3}$ , $η = 0, 1 P a . s$ ) s'écoule en régime stationnaire entre deux plaques horizontales fixes $y = - a$ et $y = a$ ( $a = 1 mm$ ), sous l'effet d'un gradient de pression uniforme $\frac{\partial P}{\partial x} = - G$ ( $G = 1 \times 1 0^{4} P a . m^{- 1}$ ). On cherche $v = v_{x} (y) e_{x}$ .

Établir le profil des vitesses par l'équation de Navier-Stokes.
Calculer la vitesse maximale, le débit volumique par unité de largeur $q$ et la vitesse moyenne.
Calculer le nombre de Reynolds construit sur la vitesse moyenne et l'écartement $2 a$ . Commenter.

Corrigé

$div v = \frac{\partial v _{x}}{\partial x} = 0$ : l'écoulement est incompressible, et le terme convectif $v_{x} \frac{\partial v}{\partial x}$ est nul. En régime stationnaire, la projection de Navier-Stokes sur $e_{x}$ donne

$0 = - \frac{\partial P}{\partial x} + η \frac{d ^{2} v _{x}}{d y ^{2}} ⟹ \frac{d ^{2} v _{x}}{d y ^{2}} = - \frac{G}{η}$

(les projections sur $e_{y}$ et $e_{z}$ donnent une pression hydrostatique selon la verticale). En intégrant, $v_{x} = - \frac{G}{2 η} y^{2} + A y + B$ ; l'adhérence $v_{x} (\pm a) = 0$ impose $A = 0$ et $B = \frac{G a ^{2}}{2 η}$ :

$v_{x} (y) = \frac{G}{2 η} (a^{2} - y^{2})$

C'est le profil parabolique de Poiseuille.

$v_{m a x} = v_{x} (0) = \frac{G a ^{2}}{2 η} = \frac{1 0 ^{4} \times 1 0 ^{- 6}}{0 , 2} = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m . s^{- 1}$ . $q = \int_{- a}^{a} v_{x} d y = \frac{G}{2 η} (2 a^{3} - \frac{2 a ^{3}}{3}) = \frac{2 G a ^{3}}{3 η} \approx 6, 7 \times 1 0^{- 5} m^{2} . s^{- 1}$ , et $v ˉ = \frac{q}{2 a} = \frac{2}{3} v_{m a x} \approx 3, 3 \times 1 0^{- 2} m . s^{- 1}$ .
$Re = \frac{ρ v ˉ ( 2 a )}{η} = \frac{900 \times 3 , 3 \cdot 1 0 ^{- 2} \times 2 \cdot 1 0 ^{- 3}}{0 , 1} \approx 0, 6$ : écoulement laminaire, ce qui justifie la recherche d'une solution stationnaire aussi régulière. Ici le terme convectif est même rigoureusement nul.