Équation d'Euler au voisinage d'un point d'arrêt — exercice corrigé de mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) (chapitre 4)

Équation d'Euler au voisinage d'un point d'arrêt

Dynamique locale et bilans macroscopiques · niveau 2

Énoncé

Un fluide parfait, incompressible et homogène s'écoule de façon stationnaire dans le plan horizontal $(O x y)$ selon $v = a x e_{x} - a y e_{y}$ ( $a > 0$ ) ; l'axe $O z$ est vertical ascendant. La pression vaut $P_{O}$ en $O$ .

Calculer l'accélération $(v \cdot grad) v$ d'une particule de fluide.
En déduire, par l'équation d'Euler, le champ de pression $P (x, y, z)$ .
Vérifier que $P + ρ g z + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ est uniforme. Pourquoi n'est-ce pas surprenant ?

Corrigé

$(v \cdot grad) v = (v_{x} \frac{\partial}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial}{\partial y}) v$ , avec $\frac{\partial v}{\partial x} = a e_{x}$ et $\frac{\partial v}{\partial y} = - a e_{y}$ :

$(v \cdot grad) v = a x (a e_{x}) + (- a y) (- a e_{y}) = a^{2} (x e_{x} + y e_{y}) .$

L'écoulement est stationnaire, mais les particules accélèrent (convection).

Euler : $ρ a^{2} (x e_{x} + y e_{y}) = - grad P - ρ g e_{z}$ , soit $\frac{\partial P}{\partial x} = - ρ a^{2} x$ , $\frac{\partial P}{\partial y} = - ρ a^{2} y$ , $\frac{\partial P}{\partial z} = - ρ g$ . En intégrant :

$P (x, y, z) = P_{O} - \frac{1}{2} ρ a^{2} (x^{2} + y^{2}) - ρ g z .$

La pression est maximale au point d'arrêt $O$ et décroît quand on s'en éloigne.

$v^{2} = a^{2} (x^{2} + y^{2})$ , donc $P + ρ g z + \frac{1}{2} ρ v^{2} = P_{O}$ en tout point. L'écoulement est irrotationnel ( $(rot v)_{z} = \frac{\partial v _{y}}{\partial x} - \frac{\partial v _{x}}{\partial y} = 0$ ) : la constante de Bernoulli est alors la même pour toutes les lignes de courant.