Film ruisselant sur un plan incliné — exercice corrigé de mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) (chapitre 4)

Film ruisselant sur un plan incliné

Dynamique locale et bilans macroscopiques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un film d'eau ( $ρ = 1000 k g . m^{- 3}$ , $η = 1 \times 1 0^{- 3} P a . s$ ) d'épaisseur uniforme $h = 0, 2 mm$ ruisselle en régime stationnaire sur un plan incliné d'un angle $α = 3 0^{\circ}$ sur l'horizontale. L'axe $O x$ suit la ligne de plus grande pente vers le bas, l'axe $O y$ est normal au plan (le plan en $y = 0$ , la surface libre en $y = h$ ), et l'on cherche $v = v_{x} (y) e_{x}$ . L'air, à la pression $P_{0}$ uniforme, n'exerce aucune contrainte tangentielle sur la surface libre : $\frac{\partial v _{x}}{\partial y} (h) = 0$ .

Projeter l'équation de Navier-Stokes ; en déduire $P (y)$ , puis le profil $v_{x} (y)$ .
Calculer la vitesse en surface, le débit par unité de largeur et le nombre de Reynolds $ρ v ˉ h / η$ .

Corrigé

Ici $g = g sin α e_{x} - g cos α e_{y}$ . Le terme convectif est nul ( $v_{x}$ ne dépend pas de $x$ ). Les projections donnent

$0 = - \frac{\partial P}{\partial x} + ρ g sin α + η \frac{d ^{2} v _{x}}{d y ^{2}}, 0 = - \frac{\partial P}{\partial y} - ρ g cos α .$

La seconde et $P (h) = P_{0}$ en tout $x$ donnent $P = P_{0} + ρ g cos α (h - y)$ , indépendante de $x$ . La première devient $η \frac{d ^{2} v _{x}}{d y ^{2}} = - ρ g sin α$ : c'est la pesanteur qui entraîne le film, la viscosité qui le retient. En intégrant avec $v_{x} (0) = 0$ (adhérence) et $\frac{d v _{x}}{d y} (h) = 0$ (surface libre) :

$v_{x} (y) = \frac{ρ g sin α}{η} (h y - \frac{y ^{2}}{2})$

$v_{x} (h) = \frac{ρ g sin α h ^{2}}{2 η} = \frac{1000 \times 9 , 81 \times 0 , 5 \times 4 \cdot 1 0 ^{- 8}}{2 \cdot 1 0 ^{- 3}} \approx 9, 8 \times 1 0^{- 2} m . s^{- 1}$ . $q = \int_{0}^{h} v_{x} d y = \frac{ρ g sin α h ^{3}}{3 η} \approx 1, 3 \times 1 0^{- 5} m^{2} . s^{- 1}$ , soit $v ˉ = q / h \approx 6, 5 \times 1 0^{- 2} m . s^{- 1}$ (deux tiers de la vitesse en surface). $Re = \frac{ρ v ˉ h}{η} = \frac{ρq}{η} \approx 13$ : film laminaire. Le débit varie comme $h^{3}$ : un film deux fois plus épais débite huit fois plus.