L'écluse qui se vide, puis la clepsydre

La stratégie. À chaque instant, la relation de Bernoulli donne la vitesse du jet en fonction de la chute du moment ; un bilan de volume dit comment la chute diminue. Les deux ensemble donnent une équation différentielle à variables séparables.

1) La vitesse du jet. Point A à la surface libre du sas : pression $P_a$, vitesse négligeable (on le vérifie en 2), altitude $z_A$. Point B dans la veine contractée, à la profondeur $p$ sous le niveau $z_{\text{av}}$ du bief aval : pression $P_a+\rho gp$ (admis), altitude $z_{\text{av}}-p$, vitesse $v$. La relation de Bernoulli s'écrit $$P_a+\rho g{z}_A=P_a+\rho gp+\rho g(z_{\text{av}}-p)+\frac{1}{2}\rho v^2⟹v=\sqrt{2g(z_A-z_{\text{av}})}=\sqrt{2g\Delta z}.$$ La profondeur $p$ s'élimine : seule compte la différence des niveaux. À l'ouverture, $v_0=\sqrt{2\times 9,81\times 2,5}=7,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et le débit vaut $D_{V0}=Cs{v}_0=0,60\times 0,50\times 7,0=2,1{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}$. Dans le bief aval, ce jet ralentit en tourbillonnant (les remous visibles au pied de la porte) : son énergie cinétique est dissipée par la viscosité et devient de l'énergie interne de l'eau. Le modèle parfait ne vaut que du sas à la veine contractée.

2) Le régime quasi stationnaire, puis la vidange. La surface du sas, d'aire $S=38,5\times 5,2=200,2{\mathrm{m}}^2$, descend à la vitesse $D_V/S$ ; son rapport à la vitesse du jet est $$\frac{D_V/S}{v}=\frac{Cs}{S}=\frac{0,30}{200,2}=1,5\times 10^{-3}\left(\frac{s}{S}=2,5\times 10^{-3}\right).$$ La surface descend d'à peine un centimètre par seconde quand le jet file à $7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : la vitesse de la surface est bien négligeable, et la chute change de façon notable en quelques minutes, alors qu'une particule d'eau traverse la vantelle en une fraction de seconde. L'écoulement à l'instant $t$ est donc, à très peu près, l'écoulement stationnaire qui correspond à la chute $\Delta z(t)$ : on applique la relation de Bernoulli à chaque instant (régime quasi stationnaire).

Bilan de volume du sas entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$ : son niveau baisse de $-\mathrm{d}(\Delta z)$ (le bief aval ne bouge pas) pendant que le volume $Csv\mathrm{d}t$ s'échappe, $$S\frac{\mathrm{d}(\Delta z)}{\mathrm{d}t}=-Cs\sqrt{2g\Delta z}.$$ En séparant les variables, $\frac{\mathrm{d}(\Delta z)}{\sqrt{\Delta z}}=-\frac{Cs}{S}\sqrt{2g}\mathrm{d}t$, puis en intégrant depuis $\Delta z_0$, $$\sqrt{\Delta z(t)}=\sqrt{\Delta z_0}\left(1-\frac{t}{T}\right),T=\frac{S}{Cs}\sqrt{\frac{2\Delta z_0}{g}}=\frac{200,2}{0,30}\sqrt{\frac{2\times 2,5}{9,81}}=476\mathrm{s}.$$ L'éclusée dure $T\approx 8\min$ et transfère $S\Delta z_0=500{\mathrm{m}}^3$ ; contrôle : le débit décroît linéairement de $2,1{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}$ à zéro, sa moyenne $1,05{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}$ pendant $476\mathrm{s}$ donne bien $500{\mathrm{m}}^3$. La chute est réduite de moitié quand $\sqrt{1/2}=1-t/T$, soit $t=T(1-1/\sqrt{2})=140\mathrm{s}$ : la première moitié de la chute prend $29\%$ du temps, la fin traîne. C'est pourquoi l'éclusier ouvre la porte dès que les niveaux sont presque égaux.

3) La clepsydre. Même méthode, avec un récipient de section $\pi r^2$ variable : le bilan de volume s'écrit $\pi r^2\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-s\sqrt{2gh}$, avec $s=\pi d^2/4=7,85\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2$. On impose $\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-u$, avec $u=\frac{0,30\mathrm{m}}{12\mathrm{h}}=25\mathrm{mm}{\mathrm{h}}^{-1}=6,94\times 10^{-6}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $$\pi r^{2}u=s\sqrt{2gh}⟹r={\left(\frac{s^{2}2g}{{\pi }^2{u}^2}\right)}^{1/4}{h}^{1/4}.$$ Le jet ralentit quand le niveau baisse ; pour que le niveau baisse quand même à vitesse constante, la surface doit rétrécir comme $\sqrt{h}$. Numériquement, $r=29,6\mathrm{cm}$ à $h=30\mathrm{cm}$, $22,5\mathrm{cm}$ à $10\mathrm{cm}$, $12,6\mathrm{cm}$ à $1\mathrm{cm}$ : un vase très évasé en haut, dont les graduations, une toutes les deux heures tous les $5\mathrm{cm}$, sont régulières.

Pour le cylindre de rayon $R=15\mathrm{cm}$, le calcul de l'écluse donne $h=h_0(1-t/T{)}^2$ avec $$T=\frac{\pi R^2}{s}\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=\frac{(0,15{)}^2}{(0,50\times 10^{-3}{)}^2}\sqrt{\frac{2\times 0,30}{9,81}}=2,23\times 10^4\mathrm{s}=6,2\mathrm{h}.$$ À mi-temps, $h=h_0/4=7,5\mathrm{cm}$ : les trois quarts de l'eau sont partis. Les graduations horaires seraient à $30$, $21,1$, $13,7$, $7,9$, $3,7$, $1,1\mathrm{cm}$ : serrées vers le fond, irrégulières. Les clepsydres égyptiennes avaient des parois évasées vers le haut pour la même raison.

Profil de la clepsydre (traits : une graduation toutes les deux heures) et cylindre de $15\mathrm{cm}$ (traits : une graduation par heure).

4) Les limites. Au fond de la clepsydre, à $h=1\mathrm{cm}$, $s/S=\frac{7,85\times 10^{-7}}{\pi \times 0,126^2}=1,6\times 10^{-5}$ : le régime quasi stationnaire reste excellent (il ne cesserait que si le rayon du vase devenait comparable à celui de l'orifice, tout au fond). La vitesse du jet va de $\sqrt{2g\times 0,30}=2,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ à $0,44\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et le nombre de Reynolds $Re=vd/\nu$ de $2400$ à $440$ : dans un orifice millimétrique, l'écoulement est laminaire et la viscosité n'y est pas négligeable. Le débit réel est inférieur au débit parfait, d'une fraction qui dépend de $h$ et de la température (la viscosité de l'eau varie de moitié entre $10$ et $40{}^{\circ }\mathrm{C}$) : une vraie clepsydre se gradue par l'expérience, et ne marche pas au même rythme en hiver et en été.

Ce que l'exercice installe. Une vidange se traite comme une suite d'états stationnaires quand la surface libre descend lentement devant le jet ($s\ll S$), et on le vérifie en chiffrant le rapport des sections. La relation de Bernoulli donne la vitesse du jet ($\sqrt{2g\Delta z}$, indépendante de la profondeur d'un orifice noyé), le bilan de volume la vitesse de baisse du niveau : ensemble, une équation à variables séparables, une chute en $(1-t/T{)}^2$ et une fin lente. Renverser le problème donne une forme : la clepsydre en $h^{1/4}$. Le modèle parfait cède là où la vitesse et la taille deviennent petites (nombre de Reynolds).