mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Le moteur-fusée au banc : la poussée et son terme de pression

Dynamique locale et bilans macroscopiques · E. Bilans macroscopiques · niveau 2

Énoncé

Un moteur-fusée de premier étage brûle du kérosène dans l'oxygène liquide. Au banc d'essai, horizontal, au niveau de la mer ( $P_{a} = 1, 013 bar$ ), il consomme $D_{m} = 300 kg s^{- 1}$ d'ergols, qui arrivent des réservoirs du banc par des conduites, à vitesse négligeable ; ces conduites n'exercent pas d'effort notable sur le moteur. Les gaz sont éjectés par la section de sortie de la tuyère, d'aire $S_{s} = 0, 65 m^{2}$ , à la vitesse $u = 2800 m s^{- 1}$ par rapport au moteur, uniforme et axiale ; dans cette section, leur pression vaut $P_{s} = 0, 65 bar$ , fixée par la forme de la tuyère (elle ne dépend pas de la pression ambiante tant que le jet ne décolle pas des parois). Le régime est stationnaire. Un capteur mesure la force horizontale $F$ que le moteur exerce sur le banc. On définit l'impulsion spécifique $I_{s p} = \frac{F}{D _{m} g}$ (en secondes). Critère de décollement (donné) : le jet décolle des parois de la tuyère, ce qui la détériore, si $P_{s} < 0, 4 P_{a}$ . Dans l'atmosphère, supposée isotherme, la pression décroît avec l'altitude comme $P_{a} (z) = P_{a} (0) e^{- z / H}$ , avec $H = 8, 0 km$ . Le lanceur, de masse $550 t$ au décollage, porte neuf moteurs identiques à celui-ci.

1) Le volume de contrôle est limité par une surface fermée qui entoure le moteur dans l'air ambiant, coupe les conduites d'ergols et l'attache du capteur, et se ferme sur la section de sortie de la tuyère (pointillés). Construire le système fermé associé, faire l'inventaire des forces extérieures et établir $F = D_{m} u + (P_{s} - P_{a}) S_{s} .$

2) Calculer la poussée au sol et dans le vide (même $u$ , même $P_{s}$ ), puis les impulsions spécifiques correspondantes.

3) Quel est le signe du terme de pression au sol ? On dit la tuyère « surdétendue » : pourquoi ? À quelle altitude la tuyère est-elle adaptée ( $P_{s} = P_{a}$ ) ? Le jet décolle-t-il au sol ? Pourquoi les moteurs d'étage supérieur, qui fonctionnent dans le vide, ont-ils des tuyères beaucoup plus longues et plus évasées que ceux du premier étage ?

4) Calculer le rapport de la poussée des neuf moteurs au poids du lanceur au décollage. Conclure. (On s'arrête au décollage : la suite du vol, où la masse du lanceur varie, sort du cadre de cette étude.)

Corrigé

La stratégie. Même bilan que pour le turboréacteur, avec une différence : la section de sortie n'est pas à la pression ambiante. La pression ambiante, uniforme, se retire de la frontière fermée ; il reste l'écart $P_{s} - P_{a}$ sur la seule section de sortie.

1) Le bilan. On oriente $e_{x}$ vers l'avant (sens de la poussée) ; les gaz sortent à $- u e_{x}$ . Système fermé associé $Σ^{*}$ : à $t$ , le moteur, les ergols et les gaz qu'il contient, et la masse $d m = D_{m} d t$ d'ergols qui va entrer par les conduites ; à $t + d t$ , le moteur, son contenu, et la masse $d m$ de gaz éjectée. Les ergols entrent à vitesse négligeable, le moteur est immobile, le contenu est stationnaire : $\frac{d p ^{*}}{d t} = - D_{m} u e_{x} .$ Forces extérieures : la pression $P_{a}$ de l'air sur toute la frontière, sauf sur la section de sortie, où le gaz qui vient d'en sortir presse $Σ^{*}$ avec $P_{s}$ , vers l'intérieur, donc selon $+ e_{x}$ ; l'action $R$ du capteur ; le poids et l'appui vertical du banc ; les conduites, négligées. Retirons la pression uniforme $P_{a}$ de toute la frontière fermée : il reste $(P_{s} - P_{a}) S_{s} e_{x}$ sur la section de sortie. La loi de la quantité de mouvement, projetée sur $e_{x}$ , donne $- D_{m} u = R_{x} + (P_{s} - P_{a}) S_{s} ⟹ F = - R_{x} = D_{m} u + (P_{s} - P_{a}) S_{s} .$ La pression des gaz sur les parois de la chambre et de la tuyère, que l'on ne connaît pas en détail, est une action intérieure à $Σ^{*}$ : le bilan n'en a pas besoin.

2) Au sol, dans le vide. $D_{m} u = 300 \times 2800 = 840 kN$ . Au sol, $(P_{s} - P_{a}) S_{s} = (0, 65 - 1, 013) \times 1 0^{5} \times 0, 65 = - 23, 6 kN$ , d'où $F_{sol} = 816 kN$ ; dans le vide, $P_{s} S_{s} = + 42, 3 kN$ et $F_{vide} = 882 kN$ . L'écart vaut $P_{a} S_{s} = 65, 8 kN$ , $8 %$ . Impulsions spécifiques : $I_{s p} = \frac{816 \times 1 0 ^{3}}{300 \times 9 , 81} = 277 s$ au sol et $300 s$ dans le vide, les valeurs usuelles des moteurs kérosène-oxygène de premier étage.

3) Surdétente, altitude d'adaptation, décollement. Au sol, $P_{s} < P_{a}$ : le terme de pression est négatif. La tuyère a détendu les gaz au-dessous de la pression ambiante, d'où le nom ; l'atmosphère presse alors la section de sortie vers l'arrière plus que les gaz ne la poussent vers l'avant. La poussée croît à mesure que la pression ambiante baisse (droite ci-dessus, de pente $- S_{s}$ ) ; la tuyère est adaptée quand $P_{a} (z) = P_{s}$ , soit $z = H ln \frac{P _{a} ( 0 )}{P _{s}} = 8, 0 \times ln \frac{1 , 013}{0 , 65} = 3, 5 km,$ atteints dans la première demi-minute de vol ; au-dessus, la tuyère est sous-détendue ( $P_{s} > P_{a}$ ). Au sol, $0, 4 P_{a} = 0, 405 bar < P_{s} = 0, 65 bar$ : pas de décollement, avec une marge. Dans le vide, rien ne limite la détente : une tuyère plus longue et plus évasée accélère davantage les gaz ( $u$ croît) et la poussée augmente ; seules la masse et l'encombrement la bornent, d'où les immenses divergents des moteurs d'étage supérieur. La même tuyère au sol aurait $P_{s}$ très inférieure à $0, 4 P_{a}$ : le jet décollerait. Les moteurs de premier étage, qui partent du sol, ont des tuyères courtes : un compromis entre la surdétente au départ et la sous-détente en altitude.

4) Décollage. Les neuf moteurs fournissent $9 \times 816 = 7, 35 MN$ ; le lanceur pèse $550 \times 1 0^{3} \times 9, 81 = 5, 40 MN$ . Le rapport poussée sur poids vaut $1, 36$ : supérieur à $1$ , le lanceur décolle ; avec un rapport trop proche de $1$ , il resterait longtemps à basse vitesse dans le champ de pesanteur, en y brûlant ses ergols.

Ce que l'exercice installe. La poussée d'un moteur au banc a deux termes : le débit de quantité de mouvement éjecté, $D_{m} u$ , et la pression sur la section de sortie, $(P_{s} - P_{a}) S_{s}$ . La pression ambiante se retire en pressions relatives, pas la pression de sortie. Une tuyère n'est adaptée qu'à une altitude ; au-dessous, elle est surdétendue, et le décollement du jet limite sa longueur.

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