Le ressaut hydraulique au pied d'un déversoir

La stratégie. Le rouleau est inaccessible au calcul ; mais de part et d'autre, la vitesse est uniforme et la pression hydrostatique. Le bilan de quantité de mouvement donne $h_2$ sans rien savoir du rouleau ; le bilan d'énergie mesure ensuite ce que le rouleau dissipe, et dit dans quel sens le phénomène est possible.

1) Débit et nombre de Froude. $q=0,50\times 8,0=4,0{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$, soit $qb=160{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-1}$ pour tout le bassin. $F{r}_1=\frac{8,0}{\sqrt{9,81\times 0,50}}=3,61$ : écoulement rapide (on dit torrentiel), plus rapide que les ondes de surface, de célérité $\sqrt{gh}$.

2) Bilan de quantité de mouvement. Système fermé ${\Sigma }^{\ast }$ : à $t$, l'eau entre les sections 1 et 2 (par unité de largeur) et la masse $\mathrm{d}m=\rho q\mathrm{d}t$ qui va franchir la section 1 ; à $t+\mathrm{d}t$, l'eau entre les sections et la masse $\mathrm{d}m$ qui a franchi la section 2. En régime stationnaire, $\frac{\mathrm{d}{p}_x^{\ast }}{\mathrm{d}t}=\rho q(v_2-v_1)$. Forces de pression sur une section : la pression relative $\rho g(h-z)$ s'exerce sur la bande $[z,z+\mathrm{d}z]$ de largeur unité ; sa résultante vaut $${\int }_0^h\rho g(h-z)\mathrm{d}z=\frac{1}{2}\rho g{h}^2,$$ appliquée vers l'intérieur du système. Inventaire selon l'axe : $+\frac{1}{2}\rho g{h}_1^2$ sur la section 1, $-\frac{1}{2}\rho g{h}_2^2$ sur la section 2 ; la pression atmosphérique sur la surface libre ne compte pas en pressions relatives ; le fond n'exerce qu'une force verticale (frottement négligé) ; le poids est vertical. D'où $$\rho q(v_2-v_1)=\frac{1}{2}\rho g\left(h_1^2-h_2^2\right).$$ Avec $v=q/h$, le premier membre vaut $\rho q^2\frac{h_1-h_2}{h_1{h}_2}$ ; en simplifiant par $h_1-h_2\ne 0$, $q^2=\frac{1}{2}g{h}_1{h}_2(h_1+h_2)$. Avec $q^2=F{r}_1^{2}g{h}_1^3$ et $r=h_2/h_1$, il vient $r^2+r-2F{r}_1^2=0$, dont la racine positive est la relation de Bélanger. Numériquement, $\sqrt{1+8\times 3,61^2}=10,27$, $h_2/h_1=4,63$ et $$h_2=2,32\mathrm{m},v_2=\frac{q}{h_2}=1,73\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},F{r}_2=\frac{1,73}{\sqrt{9,81\times 2,32}}=0,36.$$ L'écoulement est devenu lent (fluvial). Vérification : la somme $\rho qv+\frac{1}{2}\rho g{h}^2$ vaut $32000+1226=33226\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ en amont, presque tout en débit de quantité de mouvement, et $6907+26319=33226\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}$ en aval, presque tout en pression : le ressaut échange de la quantité de mouvement contre de la pression.

3) Bilan d'énergie cinétique. L'énergie cinétique de ${\Sigma }^{\ast }$ croît de $\mathrm{d}{E}_c^{\ast }=\mathrm{d}m\left(\frac{1}{2}{v}_2^2-\frac{1}{2}{v}_1^2\right)$. Puissances, par unité de largeur : la force de pression sur la section 1 pousse une eau qui avance à $v_1$, $\frac{1}{2}\rho g{h}_1^2{v}_1=\frac{1}{2}\rho gq{h}_1$ ; sur la section 2, $-\frac{1}{2}\rho gq{h}_2$ ; le fond est fixe et la vitesse lui est tangente ; la pression atmosphérique, relative nulle, ne compte pas ; le poids : en régime stationnaire, tout se passe comme si la masse $\mathrm{d}m$ passait de l'altitude moyenne de la section 1, $h_1/2$, à celle de la section 2, $h_2/2$, d'où $-\rho qg\frac{h_2-h_1}{2}$ ; forces intérieures : ${\mathcal{P}}_{\text{int}}$. Le théorème de l'énergie cinétique donne $$\frac{1}{2}\rho q\left(v_2^2-v_1^2\right)=\frac{1}{2}\rho gq(h_1-h_2)+\frac{1}{2}\rho gq(h_1-h_2)+{\mathcal{P}}_{\text{int}},$$ d'où $${\mathcal{P}}_{\text{int}}=-\rho gq\left[\left(h_1+\frac{v_1^2}{2g}\right)-\left(h_2+\frac{v_2^2}{2g}\right)\right]=-\rho gq\Delta H.$$ Avec $\frac{q^2}{g}=\frac{1}{2}{h}_1{h}_2(h_1+h_2)$ : $$\frac{v_1^2-v_2^2}{2g}=\frac{q^2}{2g}\frac{h_2^2-h_1^2}{h_1^2{h}_2^2}=\frac{(h_1+h_2{)}^2(h_2-h_1)}{4h_1{h}_2},$$ $$\Delta H=(h_1-h_2)+\frac{(h_1+h_2{)}^2(h_2-h_1)}{4h_1{h}_2}=\frac{(h_2-h_1)[(h_1+h_2{)}^2-4h_1{h}_2]}{4h_1{h}_2}=\boxed{\frac{(h_2-h_1{)}^3}{4h_1{h}_2}}.$$ Numériquement, $\Delta H=\frac{1,816^3}{4\times 0,50\times 2,316}=1,29\mathrm{m}$, sur une charge amont $H_1=0,50+\frac{8,0^2}{2\times 9,81}=3,76\mathrm{m}$ : $34\%$ de la charge est dissipée dans le rouleau. Puissance dissipée : $\rho gq\Delta H=1000\times 9,81\times 4,0\times 1,29=51\mathrm{kW}$ par mètre de largeur, $2,0\mathrm{MW}$ pour les $40\mathrm{m}$ du bassin. Chaque kilogramme d'eau perd $g\Delta H=12,7\mathrm{J}$, qui l'échauffe de $\frac{12,7}{4180}=3\mathrm{mK}$ : imperceptible. Le bassin sert à cela : détruire l'énergie cinétique de la nappe rapide avant de rendre l'eau à la rivière, qui sinon affouillerait son lit au pied du barrage.

4) Le sens du ressaut. Le bilan de quantité de mouvement accepte aussi bien $h_2<h_1$ que $h_2>h_1$. Mais si $h_2<h_1$, $\Delta H<0$ et ${\mathcal{P}}_{\text{int}}>0$ : les forces intérieures fourniraient de l'énergie à l'eau, alors que la viscosité ne peut qu'en dissiper. Seul $h_2>h_1$ est possible, ce qui, d'après la relation de Bélanger, équivaut à $F{r}_1>1$ : le ressaut fait toujours passer un écoulement rapide à un écoulement lent. Quand $F{r}_1\to 1$, $h_2\to h_1$ et $\Delta H$, en $(h_2-h_1{)}^3$, s'annule très vite : le ressaut s'adoucit en ondulations qui ne dissipent presque rien. Pour dissiper beaucoup, il faut un nombre de Froude amont élevé.

Ce que l'exercice installe. Le bilan de quantité de mouvement s'applique à un écoulement à surface libre, la résultante hydrostatique $\frac{1}{2}\rho g{h}^2$ jouant le rôle de la pression sur les sections coupées. La quantité de mouvement s'y conserve, pas l'énergie : le ressaut est un dissipateur. Et le second bilan dit dans quel sens le phénomène est possible : une puissance intérieure ne peut pas être positive.