Le turboréacteur au banc d'essai, puis en vol

La stratégie. Placer la frontière là où vitesse et pression sont connues : loin en amont, l'air est au repos à $P_a$ ; dans la section de sortie, la tuyère adaptée impose $P_a$. Entre les deux, le moteur fait ce qu'il veut, le bilan n'a pas à le savoir.

1) La poussée au banc. On oriente ${\overrightarrow{e}}_x$ vers l'avant du moteur ; le jet sort à $-v_s{\overrightarrow{e}}_x$. Système fermé associé ${\Sigma }^{\ast }$ : à $t$, le moteur, le gaz contenu dans le volume de contrôle, la masse d'air $\mathrm{d}{m}_a=D_a\mathrm{d}t$ qui va en franchir la frontière et la masse de carburant $\mathrm{d}{m}_c=D_c\mathrm{d}t$ qui va entrer par la conduite ; à $t+\mathrm{d}t$, le moteur, le contenu, et la masse $\mathrm{d}{m}_a+\mathrm{d}{m}_c$ éjectée par la section de sortie. Les masses qui entrent ont une vitesse négligeable ; le moteur est immobile ; le contenu ne change pas en régime stationnaire : $$\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{p}}^{\ast }}{\mathrm{d}t}=-(D_a+D_c)v_s{\overrightarrow{e}}_x.$$ Forces extérieures : la pression $P_a$ sur toute la frontière (air calme, et sortie adaptée), de résultante nulle ; le poids et la réaction verticale du bâti ; l'action horizontale $\overrightarrow{R}$ du capteur sur le moteur. D'où $\overrightarrow{R}=-(D_a+D_c)v_s{\overrightarrow{e}}_x$ : le bâti retient le moteur vers l'arrière, et le moteur pousse le bâti vers l'avant avec $$F_0=(D_a+D_c)v_s⟹v_s=\frac{30\times 10^3}{51}=588\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ et $600\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ si l'on néglige le carburant : $2\%$ d'écart. Couper l'écoulement à l'entrée d'air du moteur demanderait d'y connaître la vitesse (l'air y est déjà accéléré) et la pression (inférieure à $P_a$, et inconnue) : il faudrait compter une quantité de mouvement entrante et une force de pression qu'on ignore. Loin en amont, les deux sont connues : c'est le choix de la frontière qui rend le bilan possible.

2) Le jet au banc. Le jet emporte la puissance cinétique $\frac{1}{2}{D}_a{v}_s^2=\frac{1}{2}\times 50\times 600^2=9,0\mathrm{MW}$. La combustion libère $1,0\times 43=43\mathrm{MW}$ : un cinquième devient énergie cinétique du jet, le reste chauffe les gaz éjectés. Au banc, rien ne bouge : la poussée ne travaille pas. Les $9\mathrm{MW}$ du jet sont perdus : le jet se mélange à l'air de la cellule, ralentit, et son énergie cinétique devient de l'énergie interne par la turbulence et la viscosité. Au banc, toute la puissance sert à produire une force, aucune à déplacer quoi que ce soit.

3) En vol. Le moteur est en translation rectiligne uniforme par rapport au sol, galiléen : son référentiel est galiléen, et l'écoulement y est stationnaire (la même configuration se reproduit à chaque instant). L'air calme arrive donc, loin en amont, à la vitesse $-V{\overrightarrow{e}}_x$ par rapport au moteur, à la pression $P_a$. Le même système fermé que plus haut, carburant négligé, donne $$\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{p}}^{\ast }}{\mathrm{d}t}=D_a(-v_s+V){\overrightarrow{e}}_x=\overrightarrow{R}⟹F=D_a(v_s-V)=50\times 500=25\mathrm{kN}.$$ La poussée a baissé : l'air entre avec une quantité de mouvement qu'il faut d'abord retourner. Dans le référentiel du sol, le moteur avance à $V$ et la poussée fournit la puissance propulsive $FV=25\times 10^3\times 250=6,25\mathrm{MW}$. Dans le référentiel du moteur, l'énergie cinétique du système fermé croît de $${\mathcal{P}}_c=\frac{1}{2}{D}_a\left(v_s^2-V^2\right)=\frac{1}{2}\times 50\times \left(750^2-250^2\right)=12,5\mathrm{MW}.$$ Le rendement propulsif vaut $${\eta }_p=\frac{FV}{{\mathcal{P}}_c}=\frac{D_a(v_s-V)V}{\frac{1}{2}{D}_a(v_s-V)(v_s+V)}=\frac{2V}{V+v_s}=\frac{500}{1000}=0,50.$$ Dans le référentiel du sol, l'air était au repos ; après le passage du moteur, il recule à $v_s-V=500\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : le sillage emporte chaque seconde l'énergie cinétique $\frac{1}{2}{D}_a(v_s-V{)}^2=6,25\mathrm{MW}$. On vérifie ${\mathcal{P}}_c=FV+\frac{1}{2}{D}_a(v_s-V{)}^2$ : la moitié de la puissance communiquée à l'air sert à pousser l'avion, l'autre moitié agite l'air derrière lui.

4) Le double flux. Même poussée avec cinq fois plus d'air : $v_s-V=\frac{F}{D}=\frac{25\times 10^3}{250}=100\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $v_s=350\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, ${\eta }_p=\frac{500}{600}=0,83$, et ${\mathcal{P}}_c=\frac{1}{2}\times 250\times (350^2-250^2)=7,5\mathrm{MW}$ au lieu de $12,5\mathrm{MW}$ : pour la même poussée, $40\%$ de puissance en moins à fournir à l'air, donc d'autant moins de carburant. Une poussée donnée coûte d'autant moins d'énergie qu'on accélère beaucoup d'air un peu : d'où les soufflantes de grand diamètre des avions de ligne, et à l'extrême les hélices. Si $v_s\to V$, ${\eta }_p\to 1$, mais la poussée $D(v_s-V)$ tend vers zéro à débit fini : il faudrait un débit infini, donc une soufflante démesurée, lourde et freinée par sa nacelle. Le compromis fixe la taille des moteurs.

Ce que l'exercice installe. Le choix du volume de contrôle : assez grand pour que l'air y entre au repos, à une pression connue. Un changement de référentiel galiléen rend l'écoulement stationnaire. Et la distinction entre poussée et puissance : au banc, $9\mathrm{MW}$ pour ne rien déplacer ; en vol, le rendement propulsif $2V/(V+v_s)$, qui récompense les grands débits éjectés lentement.