Liquide en rotation : Euler, surface libre et constante de Bernoulli

• Le terme visqueux $\eta \Delta \overrightarrow{v}$ est nul pour une rotation en bloc : les couches ne glissent pas les unes sur les autres. L'équation de Navier-Stokes se réduit à celle d'Euler.
• $\overrightarrow{a}=-{\omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$ (mouvement circulaire uniforme). Euler : $-\rho {\omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P-\rho g{\overrightarrow{e}}_z$, soit $\frac{\partial P}{\partial r}=\rho {\omega }^{2}r$, $\frac{\partial P}{\partial \theta }=0$, $\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g$ :

$$P(r,z)=P_0+\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{r}^2-\rho g(z-z_0),$$

où $z_0$ est la cote du fond du creux, sur l'axe. La surface libre $P=P_0$ est le paraboloïde $z=z_0+\frac{{\omega }^2{r}^2}{2g}$. (On retrouve le résultat obtenu par la force d'inertie centrifuge dans le référentiel tournant.)

• $P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho v^2=P_0+\rho g{z}_0+\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{r}^2+\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{r}^2=P_0+\rho g{z}_0+\rho {\omega }^2{r}^2$. Les lignes de courant sont les cercles d'axe $Oz$ ($r$ et $z$ fixés) : la quantité est constante sur chacune, comme l'annonce la relation de Bernoulli, mais elle change d'une ligne à l'autre. L'écoulement n'est pas irrotationnel ($\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{v}=2\omega {\overrightarrow{e}}_z$) : la constante n'a aucune raison d'être la même partout.