Problème : établir la relation de Bernoulli par un bilan d'énergie cinétique, puis l'étendre à une station de transfert d'énergie par pompage

La stratégie. Les théorèmes de la mécanique valent pour un système fermé ; le fluide du tube, lui, se renouvelle. On suit donc une masse donnée de fluide pendant $\mathrm{d}t$ ; en régime stationnaire, tout ce qui est entre $S_1$ et $S_2$ est identique à $t$ et à $t+\mathrm{d}t$, et le bilan ne porte que sur les deux tranches $\mathrm{d}{m}_1$ et $\mathrm{d}{m}_2$.

1) Le système fermé. ${\Sigma }^{\ast }$ est fermé : sa masse est la même à $t$ et à $t+\mathrm{d}t$. Le fluide compris entre $S_1$ et $S_2$ a la même masse aux deux instants, puisque l'écoulement est stationnaire ; donc $\mathrm{d}{m}_1=\mathrm{d}{m}_2$. La masse $\mathrm{d}{m}_1$ est celle qui traverse $S_1$ pendant $\mathrm{d}t$ : $\mathrm{d}{m}_1=\rho S_1{v}_1\mathrm{d}t=D_m\mathrm{d}t$ ; c'est la conservation du débit, $\rho S_1{v}_1=\rho S_2{v}_2$, et, le fluide étant incompressible et homogène, $S_1{v}_1=S_2{v}_2=D_V$. Pour l'énergie cinétique, l'additivité donne $$E_c^{\ast }(t)=E_{c,12}(t)+\frac{1}{2}\mathrm{d}{m}_1{v}_1^2,E_c^{\ast }(t+\mathrm{d}t)=E_{c,12}(t+\mathrm{d}t)+\frac{1}{2}\mathrm{d}{m}_2{v}_2^2,$$ où $E_{c,12}$ est l'énergie cinétique du fluide compris entre $S_1$ et $S_2$, la même aux deux instants en régime stationnaire. D'où $$\mathrm{d}{E}_c=D_m\mathrm{d}t\frac{v_2^2-v_1^2}{2}.$$ Le régime stationnaire sert deux fois (masse et énergie cinétique de la partie commune), l'uniformité sur les sections une fois (énergie cinétique de chaque tranche).

2) Les travaux et la relation de Bernoulli. Poids : par le même argument, l'énergie potentielle de pesanteur de ${\Sigma }^{\ast }$ varie de $D_m\mathrm{d}tg(z_2-z_1)$, et le travail du poids en est l'opposé, $\delta W_{\text{poids}}=-D_m\mathrm{d}tg(z_2-z_1)$ : tout se passe comme si la tranche $\mathrm{d}{m}_1$ était descendue de $z_1$ à $z_2$. Pression sur $S_1$ : le fluide situé en amont pousse ${\Sigma }^{\ast }$ avec la force $P_1{S}_1$, dans le sens de l'écoulement, sur le déplacement $v_1\mathrm{d}t$ : $\delta W_1=P_1{S}_1{v}_1\mathrm{d}t=P_1\frac{D_m\mathrm{d}t}{\rho }$. Pression sur $S_2$ : le fluide situé en aval retient ${\Sigma }^{\ast }$ avec la force $P_2{S}_2$, opposée au déplacement $v_2\mathrm{d}t$ : $\delta W_2=-P_2\frac{D_m\mathrm{d}t}{\rho }$. Paroi latérale : pour un fluide parfait, elle n'exerce que des forces de pression, normales à la paroi ; la vitesse du fluide y est tangente (la paroi est faite de lignes de courant, ou c'est une paroi fixe) : travail nul. Forces intérieures : travail nul (admis). Le théorème de l'énergie cinétique, $\mathrm{d}{E}_c=\delta W_{\text{ext}}+\delta W_{\text{int}}$, divisé par $D_m\mathrm{d}t/\rho$, donne $$\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)=-\rho g(z_2-z_1)+P_1-P_2,$$ soit $$P_1+\rho g{z}_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=P_2+\rho g{z}_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2.$$ C'est la relation de Bernoulli entre l'entrée et la sortie du tube ; pour un tube de faible section, entre deux points d'un même filet. Rôle des hypothèses : « stationnaire » rend identiques, à $t$ et à $t+\mathrm{d}t$, la masse et les énergies de la partie commune ; « incompressible et homogène » donne le même volume $D_m\mathrm{d}t/\rho$ aux deux tranches (les travaux de pression s'écrivent $P_1-P_2$ multiplié par un même volume), et contribue à annuler le travail intérieur (pas de travail de compression) ; « parfait » annule le travail intérieur (pas de frottement entre couches de fluide) et réduit l'action de la paroi à des forces normales. Le champ de pesanteur uniforme donne l'énergie potentielle $gz$.

3) Machine et pertes. Pendant $\mathrm{d}t$, les parties mobiles de la machine fournissent à ${\Sigma }^{\ast }$ le travail $D_m\mathrm{d}t{w}_u$ (c'est la définition de $w_u$) ; les forces intérieures, $-D_m\mathrm{d}tg\Delta H$. Les autres travaux sont inchangés (aux parois fixes de la machine et de la conduite, la vitesse du fluide est nulle ou tangente : leur action ne travaille pas). Le théorème de l'énergie cinétique, divisé par $D_m\mathrm{d}t$, donne $$\frac{v_2^2-v_1^2}{2}=-g(z_2-z_1)+\frac{P_1-P_2}{\rho }+w_u-g\Delta H,$$ qui est la relation généralisée annoncée : la machine ajoute $w_u$ à l'énergie mécanique massique $\frac{P}{\rho }+gz+\frac{v^2}{2}$, la viscosité en retire $g\Delta H$. Divisée par $g$, c'est $H_2=H_1+\frac{w_u}{g}-\Delta H$, avec la hauteur manométrique $H_m=w_u/g$ d'une pompe.

Le premier principe, avec $h=u+P/\rho$ et $\rho$ constante, s'écrit $$(u_2-u_1)+\frac{P_2-P_1}{\rho }+\frac{v_2^2-v_1^2}{2}+g(z_2-z_1)=w_u+q.$$ En lui retranchant la relation de Bernoulli généralisée, il reste $u_2-u_1=q+g\Delta H$ : l'énergie mécanique perdue par frottement réapparaît en énergie interne. Le bilan d'énergie cinétique et le premier principe ne se contredisent pas, ils se complètent : le premier ne voit que l'énergie mécanique, le second toute l'énergie. Pour un liquide de capacité thermique $c$ dans une conduite calorifugée ($q=0$, $w_u=0$), $c(T_2-T_1)=g\Delta H$ : l'échauffement vaut $\Delta T=g\Delta H/c$, $2,3\mathrm{mK}$ par mètre de perte de charge.

4) Le turbinage. Dans la galerie, $v=\frac{4\times 200}{\pi \times 5,0^2}=10,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et $\frac{v^2}{2g}=5,3\mathrm{m}$, moins de $1\%$ de la chute : l'énergie cinétique compte peu dans le bilan, et elle est de toute façon dissipée au débouché dans la retenue inférieure (elle fait partie des $25\mathrm{m}$ de pertes). Vannes fermées, l'eau est au repos et la statique des fluides donne, en E, $900\mathrm{m}$ sous la surface supérieure, $$P_E-P_a=\rho g{H}_0=1000\times 9,81\times 900=88,3\times 10^5\mathrm{Pa}=88,3\mathrm{bar}.$$ En turbinage, la relation généralisée entre la surface supérieure (1) et E, sans machine et avec $20\mathrm{m}$ de pertes, donne $$P_E-P_a=\rho g(H_0-20)-\frac{1}{2}\rho v^2=1000\times 9,81\times 880-\frac{1}{2}\times 1000\times 10,19^2=85,8\mathrm{bar}.$$ La conduite forcée doit tenir près de $90\mathrm{bar}$, sans compter les surpressions d'une fermeture rapide des vannes. Entre les deux surfaces libres (1 et 2 : pression $P_a$, vitesse négligeable, $z_1-z_2=H_0$), la relation généralisée donne $$w_u=-g(H_0-\Delta H)=-9,81\times (900-25)=-8,58\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1},$$ négatif : l'eau cède du travail à la turbine. Puissance cédée à la turbine : $\rho D_{V}g(H_0-\Delta H)=1000\times 200\times 9,81\times 875=1,72\mathrm{GW}$ ; puissance électrique : $0,90\times 0,98\times 1,717=1,51\mathrm{GW}$, celle d'un grand réacteur nucléaire.

5) Le pompage. $k=\frac{25}{200^2}=6,25\times 10^{-4}{\mathrm{s}}^2{\mathrm{m}}^{-5}$, d'où $\Delta H_p=k\times 140^2=12,25\mathrm{m}$ : on pompe moins vite qu'on ne turbine, et les pertes, en $D_V^2$, sont deux fois plus faibles. La pompe doit donner $w_u=g(H_0+\Delta H_p)=9,81\times 912,25=8,95\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, soit une puissance hydraulique $\rho D_V{w}_u=1,25\mathrm{GW}$ et une puissance électrique absorbée $${\mathcal{P}}_{\text{abs}}=\frac{1000\times 140\times 9,81\times 912,25}{0,90\times 0,98}=1,42\mathrm{GW}.$$ Pour un même volume $V$, l'énergie électrique restituée est $0,882\rho gV(H_0-\Delta H_t)$ et l'énergie absorbée $\rho gV(H_0+\Delta H_p)/0,882$ ; le rendement du cycle vaut $$\eta =0,882^2\times \frac{875}{912,25}=0,746.$$ Énergie potentielle stockée : $\rho g{H}_{0}V=1000\times 9,81\times 900\times 1,30\times 10^8=1,15\times 10^{15}\mathrm{J}=319\mathrm{GWh}$ ; énergie restituée : $0,882\times 1000\times 9,81\times 875\times 1,30\times 10^8=9,84\times 10^{14}\mathrm{J}=273\mathrm{GWh}$, pour $366\mathrm{GWh}$ absorbés. Durées : $\frac{1,30\times 10^8}{200}=6,5\times 10^5\mathrm{s}=181\mathrm{h}$ de turbinage à pleine puissance, $258\mathrm{h}$ de pompage. Dans la turbine, $10\%$ de l'énergie cédée par l'eau est dissipée dans l'eau elle-même : $\Delta T=\frac{0,10\times 9,81\times 875}{4180}=0,21\mathrm{K}$ ; dans le circuit, $\frac{9,81\times 25}{4180}=0,06\mathrm{K}$. Le thermomètre est l'instrument des essais de rendement des turbines.

Bilan d'un cycle complet de $1,30\times 10^8{\mathrm{m}}^3$ (barres à l'échelle ; en gris, les pertes).

6) Le résultat. Pour un écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène, dans le champ de pesanteur uniforme, la quantité $P+\rho gz+\frac{1}{2}\rho v^2$ est la même à l'entrée et à la sortie d'un tube de courant : c'est la relation de Bernoulli, établie par le théorème de l'énergie cinétique appliqué au système fermé associé, avec la puissance des forces intérieures nulle. Entre l'entrée et la sortie d'une installation, une machine ajoute son travail massique $w_u$ et la viscosité retire $g\Delta H$ : $\frac{P_1}{\rho }+g{z}_1+\frac{v_1^2}{2}+w_u=\frac{P_2}{\rho }+g{z}_2+\frac{v_2^2}{2}+g\Delta H$, et l'énergie mécanique perdue devient de l'énergie interne. Sur un cycle de la station, le rendement $0,746$ se décompose en $\frac{875}{900}=0,972$ (pertes de charge au turbinage), $\frac{900}{912,25}=0,987$ (pertes de charge au pompage) et $0,882^2=0,778$ (deux passages dans les machines). Les pertes se composent en produit des facteurs, non en somme : les machines seules coûtent $22,2$ points, les conduites seules $4,1$, et l'ensemble $25,4$ points, un peu moins que $22,2+4,1$. Les galeries larges et le pompage lent tiennent les pertes de charge à quelques pour cent ; le reste est le prix de deux conversions électromécaniques, et c'est encore le meilleur rendement des moyens de stocker de grandes quantités d'électricité.

Ce que l'exercice installe. Établir la relation de Bernoulli par un bilan d'énergie cinétique : associer un système fermé à un système ouvert, se ramener aux deux tranches d'entrée et de sortie en régime stationnaire, calculer le travail des forces de pression sur les sections ($P\mathrm{d}m/\rho$) et le travail nul sur la paroi latérale, et voir où sert chaque hypothèse. L'étendre : une machine ajoute $w_u$, la viscosité retire $g\Delta H$ (la relation de Bernoulli généralisée, en hauteurs $H_2=H_1+H_m-\Delta H$) ; le premier principe dit que l'énergie mécanique perdue devient de l'énergie interne. L'appliquer à une installation réelle : pressions de service, puissances, rendement d'un cycle de stockage décomposé en ses causes.