Vidange lente d'un réservoir cylindrique — exercice corrigé de mécanique 2 : référentiels non galiléens et fluides (PC) (chapitre 4)

Vidange lente d'un réservoir cylindrique

Dynamique locale et bilans macroscopiques · niveau 2

Énoncé

Un réservoir cylindrique de section $S$ rempli d'eau sur une hauteur $h (t)$ se vide par un orifice de section $s ≪ S$ percé dans le fond ; la surface libre et le jet sont à la pression atmosphérique. Établir l'équation d'évolution de $h (t)$ et le temps de vidange, en précisant l'hypothèse faite. Application : $S / s = 100$ , $h_{0} = 1, 0 m$ .

Corrigé

L'écoulement n'est pas stationnaire, puisque $h$ décroît. Comme $s ≪ S$ , la surface libre descend à la vitesse $\frac{d h}{d t} = \frac{s}{S} v_{B} ≪ v_{B}$ : on suppose l'écoulement quasi stationnaire et l'on applique, à chaque instant, la relation de Bernoulli entre la surface libre et l'orifice, d'où la formule de Torricelli $v_{B} = 2 g h$ . La conservation du volume donne $S \frac{d h}{d t} = - s v_{B} = - s 2 g h$ . En séparant les variables,

$\frac{d h}{h} = - \frac{s}{S} 2 g d t ⟹ 2 h_{0} - 2 h = \frac{s}{S} 2 g t .$

Le temps de vidange complète ( $h = 0$ ) vaut $T = \frac{S}{s} \frac{2 h _{0}}{g} = 100 \times \frac{2 \times 1 , 0}{9 , 81} \approx 45 s$ . Le modèle cesse d'être fiable à la toute fin, quand $h$ devient comparable au diamètre de l'orifice.