Bille dans une rainure radiale

Dans le référentiel du disque, la bille suit une droite fixe, de vecteur unitaire ${\overrightarrow{e}}_r$ : ${\overrightarrow{v}}_r=\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r=\lambda r{\overrightarrow{e}}_r$ et ${\overrightarrow{a}}_r=\ddot{r}{\overrightarrow{e}}_r={\lambda }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$. Le point coïncident tourne autour de l'axe : ${\overrightarrow{a}}_e=-{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$. Enfin ${\overrightarrow{a}}_c=2\Omega {\overrightarrow{e}}_z\wedge \lambda r{\overrightarrow{e}}_r=2\Omega \lambda r{\overrightarrow{e}}_{\theta }$. D'où

$${\overrightarrow{a}}_a=({\lambda }^2-{\Omega }^2)r{\overrightarrow{e}}_r+2\Omega \lambda r{\overrightarrow{e}}_{\theta },$$

ce que confirment les coordonnées polaires dans le sol ($\dot{\theta }=\Omega$ : $\ddot{r}-r{\Omega }^2$ et $2\dot{r}\Omega$). La composante radiale est positive si $\lambda >\Omega$, négative si $\lambda <\Omega$, nulle si $\lambda =\Omega$. Dans ce dernier cas, l'accélération absolue est purement orthoradiale : une rainure lisse, qui ne peut pousser la bille que perpendiculairement à elle-même, permet ce mouvement ($\ddot{r}={\Omega }^{2}r$ dans le sol galiléen, lancé avec $\dot{r}(0)=\Omega r_0$). La rainure impose ${\overrightarrow{a}}_r$ radiale : c'est elle qui « compense » Coriolis, et la trajectoire relative reste droite, contrairement à celle d'une bille libre.