La pluie sur la vitre du train — exercice corrigé de mécanique (MP) (chapitre 1)

La pluie sur la vitre du train

Changements de référentiel · niveau 2

Énoncé

Par temps calme, les gouttes de pluie tombent verticalement à $u = 6.5 m . s^{- 1}$ . Un train roule en ligne droite à la vitesse constante $V$ .

Quel angle les traces des gouttes sur une vitre latérale font-elles avec la verticale, à $90 k m . h^{- 1}$ ? à $300 k m . h^{- 1}$ ?
Un jour où le vent souffle parallèlement à la voie, dans le sens de la marche, à la vitesse $w$ inconnue, on mesure $74.2°$ à $90 k m . h^{- 1}$ et $82.3°$ à $180 k m . h^{- 1}$ . En déduire $u$ et $w$ .

Corrigé

Le train est en translation rectiligne uniforme : $v_{e} = V e_{x}$ en tout point.

Avec $v_{a} = - u e_{z}$ , la composition des vitesses donne $v_{r} = v_{a} - v_{e} = - V e_{x} - u e_{z}$ : les traces sont inclinées vers l'arrière, d'un angle $α$ avec la verticale tel que $tan α = V / u$ . À $25 m . s^{- 1}$ : $α = 75.4°$ ; à $83.3 m . s^{- 1}$ : $α = 85.5°$ , des traces presque horizontales.
Avec le vent, $v_{a} = w e_{x} - u e_{z}$ et $tan α = (V - w) / u$ . Les deux mesures donnent $u tan α_{1} = V_{1} - w$ et $u tan α_{2} = V_{2} - w$ , d'où

$u = \frac{V _{2} - V _{1}}{tan α _{2} - tan α _{1}} = \frac{25}{7 , 40 - 3 , 54} = 6.5 m . s^{- 1},$

puis $w = V_{1} - u tan α_{1} = 2.1 m . s^{- 1}$ . Les angles voisins de $90°$ se prêtent mal à la mesure (la tangente y varie vite) : on gagnerait en précision à mesurer à faible vitesse.