Échelle avec une personne, mur lisse puis rugueux

a) Mur lisse. Au sol, ${\overrightarrow{N}}_A=N_A{\overrightarrow{e}}_y$ et ${\overrightarrow{T}}_A$ horizontale, vers le mur ; au mur, ${\overrightarrow{N}}_B$ horizontale. Équilibre : $N_A=(m+M)g$ et $T_A=N_B$. Moments par rapport au pied $A$ : le poids de l'échelle a le bras de levier $\frac{L}{2}\cos \beta$, celui de la personne $xL\cos \beta$, la réaction du mur $L\sin \beta$ :

$$N_{B}L\sin \beta =(\frac{m}{2}+Mx)gL\cos \beta ⟹T_A=N_B=\frac{(m/2+Mx)g}{\tan \beta }.$$

L'adhérence $T_A\le f_s{N}_A$ s'écrit $\tan \beta \ge \frac{m/2+Mx}{f_s(m+M)}$ : la contrainte croît avec $x$, la position la plus défavorable est en haut ($x=1$), là où l'on se trouve justement pour travailler. Il faut $\tan \beta \ge \frac{85}{0,4\times 90}=2,36$, soit $\beta \ge 67^{\circ }$, bien plus que les $51^{\circ }$ de l'échelle seule. La règle des ouvriers, « le pied à un quart de la longueur du mur » ($\cos \beta =1/4$, $\beta =75,5^{\circ }$), n'exige que $f_s\ge 0,24$ : elle tient sur un sol médiocre.

b) Mur rugueux. Le mur exerce aussi ${\overrightarrow{T}}_B$, verticale vers le haut. Au seuil, les deux contacts glissent ensemble : $T_A=f_s{N}_A$ et $T_B=f_s^{\prime }{N}_B$. Les équations $N_B=T_A$, $N_A+T_B=(m+M)g$ et, par les moments en $A$, $N_B\sin \beta +T_B\cos \beta =(m/2+M)g\cos \beta$ donnent

$$N_A=\frac{(m+M)g}{1+f_s{f}_s^{\prime }},\tan {\beta }_{\ell }=\frac{(m/2+M)(1+f_s{f}_s^{\prime })}{f_s(m+M)}-f_s^{\prime }.$$

Numériquement, $\tan {\beta }_{\ell }=2,36\times 1,16-0,4=2,34$ et ${\beta }_{\ell }=66,9^{\circ }$ : le mur n'aide presque pas (pour l'échelle seule : $46,4^{\circ }$ au lieu de $51,3^{\circ }$). À l'intérieur du domaine d'équilibre, on a trois équations pour quatre inconnues ($N_A$, $T_A$, $N_B$, $T_B$) : les réactions tangentielles ne sont pas déterminées, seule la limite l'est.