L'aire réelle de contact : pourquoi le frottement ignore l'aire apparente

La stratégie. Tout repose sur une seule hypothèse : une jonction écrasée plastiquement porte toujours la même pression $H$. La force pressante fixe donc l'aire réelle ; le cisaillement de cette aire fixe le frottement. On calcule, puis on confronte à l'expérience.

1) L'aire réelle. Le bloc posé sur un plan horizontal est en équilibre : $N=mg=9,81\mathrm{N}$. Chaque jonction porte la pression $H$, donc la force pressante totale vaut $N=H{A}_r$ : $$A_r=\frac{N}{H}=\frac{9,81}{2,0\times 10^9}\approx 4,9\times 10^{-9}{\mathrm{m}}^2,\frac{A_r}{A_{\text{app}}}=\frac{4,9\times 10^{-9}}{1,0\times 10^{-3}}\approx 5\times 10^{-6}.$$ Soit $4900\mu {\mathrm{m}}^2$ : le bloc touche la plaque sur cinq millionièmes de sa face. Une jonction de $10\mu \mathrm{m}$ de diamètre a l'aire $\pi (5\times 10^{-6}{)}^2\approx 7,9\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^2$ : il y en a $4,9\times 10^{-9}/7,9\times 10^{-11}\approx 62$, une soixantaine. La pression apparente vaut $mg/A_{\text{app}}=9,8\times 10^3\mathrm{Pa}$, un dixième de la pression atmosphérique ; la pression réelle vaut $H=2\times 10^9\mathrm{Pa}$, deux cent mille fois plus. C'est ce qui explique les « micro-soudures » du cours : sous de telles pressions, les films d'oxyde se rompent et les métaux adhèrent l'un à l'autre. Pour des métaux, le rapport $A_r/A_{\text{app}}$ va typiquement de $10^{-4}$ à $10^{-6}$.

2) Sur la petite face. $N$ et $H$ n'ont pas changé : $A_r=N/H$ est inchangée, la pression réelle aussi ($H$), et le nombre de jonctions en moyenne aussi. Seule la pression apparente quadruple ($39\mathrm{kPa}$), ce qui ne joue aucun rôle : elle n'est pas la pression qui s'exerce réellement. Le rapport $A_r/A_{\text{app}}$ passe à $2\times 10^{-5}$, toujours minuscule.

3) Les lois d'Amontons. Pour faire glisser, il faut cisailler toute l'aire réelle : $T=\tau A_r=\tau \frac{N}{H}$. Le coefficient de frottement est donc $$f=\frac{T}{N}=\frac{\tau }{H}=\frac{0,35}{2,0}\approx 0,18.$$ Il ne dépend que des matériaux ($\tau$ et $H$), ce qui établit les deux lois d'Amontons : $T$ est proportionnelle à $N$, et $T$ ne dépend pas de l'aire apparente (qui n'apparaît nulle part). Le paradoxe tient en une phrase : l'aire apparente change, l'aire réelle ne change pas. Comparé à $0,6$, le modèle sous-estime d'un facteur trois environ : il donne le bon ordre de grandeur et les bonnes lois, pas la valeur. La raison connue est la croissance des jonctions : sous un effort tangentiel, une jonction déjà plastifiée s'écrase davantage et s'élargit, si bien que l'aire réelle au moment du glissement dépasse $N/H$ (qualitatif). Le même mécanisme, lent, explique que $f_s>f_d$ : au repos, les jonctions ont le temps de croître ; en glissement, elles sont sans cesse renouvelées.

4) Le lubrifiant. Le cisaillement se fait dans le film et non plus dans le métal : $f\approx {\tau }_{\ell }/H=20\times 10^6/2,0\times 10^9=0,01$. Un facteur vingt de gagné : c'est l'ordre de grandeur des contacts lubrifiés, et celui du téflon sur l'acier ($0,04$), matériau qui se cisaille très facilement.

5) Cas limites. Le modèle suppose $A_r\ll A_{\text{app}}$. Il cesse quand toute la face est en contact, $A_r=A_{\text{app}}$, soit $$N_{\max }=H{A}_{\text{app}}=2,0\times 10^9\times 1,0\times 10^{-3}=2,0\times 10^6\mathrm{N},$$ le poids de deux cents tonnes sur dix centimètres carrés. Au-delà, $T=\tau A_{\text{app}}$ ne croît plus avec $N$ et le coefficient diminue : cela n'arrive que dans le formage des métaux, jamais dans la vie courante, où les lois d'Amontons tiennent largement. Le caoutchouc, lui, se déforme élastiquement : son aire réelle croît moins vite que $N$, et son frottement doit beaucoup à l'adhésion sur cette aire. Le frottement y dépend donc de l'aire apparente : c'est pourquoi les pneus de course sont larges. La loi de Coulomb est une loi d'excellente qualité pour les métaux, le bois, la pierre, approximative pour les élastomères.

Ce que l'exercice installe. Le contact réel est ponctuel et rare : quelques dizaines de jonctions, une aire réelle cent mille à un million de fois plus petite que l'aire apparente, fixée par la force pressante seule ($A_r=N/H$). D'où les deux lois d'Amontons ($T\propto N$, indépendance vis-à-vis de l'aire apparente), un coefficient $f=\tau /H$ qui donne le bon ordre de grandeur, et la limite du modèle (contact saturé, élastomères).