Plateau tournant

Rotation uniforme. Dans le référentiel du plateau, en rotation uniforme autour d'un axe fixe, l'objet est immobile : la force de Coriolis est nulle, la force d'inertie d'entraînement est la force centrifuge $m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$. Hypothèse d'adhérence : $N=mg$ et $\overrightarrow{T}=-m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$, dirigée vers l'axe. L'adhérence exige $m{\Omega }^{2}r\le f_{s}mg$, soit

$$\boxed{\Omega \le {\Omega }_{\ell }=\sqrt{\frac{f_{s}g}{r}}}=\sqrt{\frac{0,4\times 9,81}{0,5}}\approx 2,8\mathrm{rad}/\mathrm{s},$$

soit $27$ tours par minute, quelle que soit la masse. Dans le référentiel du sol, galiléen, la lecture est directe : l'objet décrit un cercle à vitesse constante, et c'est le frottement statique qui fournit la force centripète $m{\Omega }^{2}r$ ; il ne peut dépasser $f_{s}mg$. Au décrochage, l'objet commence à glisser vers l'extérieur dans le référentiel du plateau, puis la force de Coriolis courbe sa trajectoire relative.

Plateau accéléré. On raisonne dans le référentiel du sol (le référentiel du plateau n'est plus en rotation uniforme). Tant qu'il adhère, l'objet décrit un cercle de rayon $r$ avec la vitesse $r\Omega$ croissante : son accélération a une composante centripète $r{\Omega }^2$ et une composante tangentielle $r\dot{\Omega }$. La seule force horizontale étant $\overrightarrow{T}$,

$$\Vert \overrightarrow{T}\Vert =mr\sqrt{{\Omega }^4+{\dot{\Omega }}^2}\le f_{s}mg⟺\Omega \le {\left[(\frac{f_{s}g}{r}{)}^2-{\dot{\Omega }}^2\right]}^{1/4}.$$

Avec $f_{s}g/r=7,85{\mathrm{rad}}^2/{\mathrm{s}}^2$ et $\dot{\Omega }=1$ : ${\Omega }_{\ell }=(61,6-1{)}^{1/4}\approx 2,79\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, à peine moins. La réaction tangentielle n'est plus dirigée vers l'axe : en adhérence, sa direction aussi est fixée par la dynamique, pas seulement son intensité.