Le paradoxe de la pièce et le train épicycloïdal

La stratégie. La méthode de Willis : se placer dans le référentiel où tous les axes sont fixes, y écrire le non-glissement par la composition des vitesses, puis revenir au sol en ajoutant les angles : tous les axes de rotation sont parallèles à ${\overrightarrow{u}}_z$, et l'angle dont tourne une droite liée à une pièce, compté depuis une direction fixe du sol, est l'angle dont elle tourne dans le référentiel intermédiaire plus l'angle dont tourne ce référentiel. C'est l'additivité des vecteurs rotation, pour des rotations coaxiales.

1a) Le référentiel des centres. $\overrightarrow{OC}$ tourne à $\omega$ autour de l'axe vertical fixe passant par $O$ : ${\mathcal{R}}^{\prime }$ est en rotation uniforme autour d'un axe fixe. Dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, $C$ est fixe : la pièce tourne autour de l'axe fixe $(C,{\overrightarrow{u}}_z)$, à ${\omega }^{\prime }$.

1b) Le non-glissement. Avec $\overrightarrow{OI}=R{\overrightarrow{u}}_{x^{\prime }}$ et $\overrightarrow{CI}=-r{\overrightarrow{u}}_{x^{\prime }}$ : $${\overrightarrow{v}}_e(I)=\omega {\overrightarrow{u}}_z\wedge R{\overrightarrow{u}}_{x^{\prime }}=\omega R{\overrightarrow{u}}_{y^{\prime }},{\overrightarrow{v}}_r(I)={\omega }^{\prime }{\overrightarrow{u}}_z\wedge (-r{\overrightarrow{u}}_{x^{\prime }})=-{\omega }^{\prime }r{\overrightarrow{u}}_{y^{\prime }};$$ ${\overrightarrow{v}}_a(I)=(\omega R-{\omega }^{\prime }r){\overrightarrow{u}}_{y^{\prime }}=\overrightarrow{0}$ donne ${\omega }^{\prime }=\omega R/r$.

1c) Deux tours, pas un. Repérons la droite des centres par son angle $\theta$, compté depuis une direction fixe du sol ($\dot{\theta }=\omega$), et une droite liée à la pièce mobile par son angle $\phi$, compté depuis la même direction. Dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, cette droite fait avec $O{x}^{\prime }$ l'angle ${\phi }^{\prime }=\phi -\theta$, qui croît à ${\dot{\phi }}^{\prime }={\omega }^{\prime }$. Les angles s'ajoutent : $$\dot{\phi }={\dot{\phi }}^{\prime }+\dot{\theta }={\omega }^{\prime }+\omega =\omega \left(1+\frac{R}{r}\right),$$ c'est-à-dire ${\overrightarrow{\Omega }}_{\text{pieˋce}/\text{sol}}={\overrightarrow{\Omega }}_{\text{pieˋce}/{\mathcal{R}}^{\prime }}+{\overrightarrow{\Omega }}_{{\mathcal{R}}^{\prime }/\text{sol}}$ : l'additivité des vecteurs rotation coaxiaux. Pendant un tour de la droite des centres ($\Delta \theta =2\pi$), $\Delta \phi =2\pi \left(1+\frac{R}{r}\right)$ : deux tours pour $r=R$, quatre pour $R=3r$. L'intuition compte le roulement, $R/r$ (la longueur $2\pi R$ déroulée sur la circonférence $2\pi r$), et oublie que le référentiel où l'on compte fait lui-même un tour — le tour en plus du jour sidéral. Vérification : le point de la pièce situé en $I$ ayant une vitesse nulle, $v(C)=\dot{\phi }r=\omega (R+r)$, la vitesse de $C$ sur son cercle de rayon $R+r$.

2) La relation de Willis. Dans le référentiel ${\mathcal{R}}_c$ du porte-satellites, en rotation uniforme autour de l'axe fixe, tous les axes sont fixes : c'est un train ordinaire. Les angles se retranchent : une droite liée au planétaire, repérée depuis un rayon du porte-satellites, a pour angle son angle dans le sol moins celui du porte-satellites ; le planétaire tourne donc dans ${\mathcal{R}}_c$ à ${\omega }_s-{\omega }_c$, la couronne à ${\omega }_r-{\omega }_c$ (additivité des vecteurs rotation coaxiaux) ; soit ${\omega }_p^{\prime }$ la vitesse angulaire d'un satellite dans ${\mathcal{R}}_c$. Deux dentures en prise ont la même vitesse au contact, dans tout référentiel (la vitesse d'entraînement ne dépend que de la position). Dans ${\mathcal{R}}_c$, contact planétaire-satellite à la distance $r_s$ de l'axe, du côté de l'axe pour le satellite : $({\omega }_s-{\omega }_c)r_s=-{\omega }_p^{\prime }{r}_p$. Contact satellite-couronne à $r_r=r_s+2r_p$ : $({\omega }_r-{\omega }_c)r_r={\omega }_p^{\prime }{r}_p$. En éliminant ${\omega }_p^{\prime }{r}_p$ : $$\frac{{\omega }_s-{\omega }_c}{{\omega }_r-{\omega }_c}=-\frac{r_r}{r_s}=-\frac{Z_r}{Z_s}.$$ Vus du porte-satellites, planétaire et couronne tournent en sens contraires.

3a) Trois vitesses également étagées. Avec $Z_r/Z_s=3$ et ${\omega }_s=0$ : $-{\omega }_c=-3({\omega }_r-{\omega }_c)$, soit $4{\omega }_c=3{\omega }_r$. Couronne menante : ${\omega }_c=\frac{3}{4}{\omega }_r$ (petite vitesse) ; porte-satellites menant : ${\omega }_r=\frac{4}{3}{\omega }_c$ (grande vitesse) ; prise directe : $1$. Les rapports $\frac{3}{4}$, $1$, $\frac{4}{3}$ s'obtiennent l'un de l'autre en multipliant par $\frac{4}{3}$ : $33\%$ à chaque changement.

3b) Le satellite roule. ${\omega }_p^{\prime }=({\omega }_r-{\omega }_c)\frac{r_r}{r_p}=\frac{{\omega }_r}{4}\times 3=0,75{\omega }_r$, et dans le sol, les angles s'ajoutant, ${\omega }_p={\omega }_p^{\prime }+{\omega }_c=1,5{\omega }_r$. Son point de contact avec le planétaire a la vitesse ${\omega }_c(r_s+r_p)-{\omega }_p{r}_p=0,75{\omega }_r\times 40-1,5{\omega }_r\times 20=0$ (rayons en nombres de dents) : le satellite roule sans glisser sur le planétaire fixe, comme la pièce de la question 1 avec $R=r$, et fait bien deux tours par tour du porte-satellites ($1,5/0,75=2$).

4) Le différentiel. Pour $Z_r=Z_s$ : ${\omega }_1-{\omega }_c=-({\omega }_2-{\omega }_c)$, d'où ${\omega }_c=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$. En ligne droite, tout tourne en bloc ; sur le rond-point, les roues vont à $6,74$ et $7,26\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et le boîtier tourne à la moyenne, qui correspond à $7,00\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, la vitesse du milieu de l'essieu.

Ce que l'exercice installe. Se placer dans le référentiel où tous les axes sont fixes, puis composer : la composition des vitesses traduit le non-glissement, l'addition des angles (l'additivité des vecteurs rotation coaxiaux) ramène au sol. Le « tour en plus » est la rotation du référentiel lui-même.