Translation ou rotation ? La nacelle, le rond-point et la Lune

La stratégie. On suit les vecteurs liés au référentiel : s'ils gardent leur direction, $\overrightarrow{\Omega }=\overrightarrow{0}$ et c'est une translation, quelle que soit la trajectoire de l'origine ; s'ils tournent et qu'une droite du référentiel reste immobile, c'est une rotation autour d'un axe fixe. Le champ ${\overrightarrow{v}}_e(M)=\overrightarrow{v}(O^{\prime })+\overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{O^{\prime }M}$ s'en déduit.

1a) La roue tourne, la nacelle non. Le rayon $\overrightarrow{C{O}^{\prime }}$, lié à la roue, tourne autour de l'axe de la roue, fixe : ${\mathcal{R}}_{\text{roue}}$ est en rotation uniforme autour d'un axe fixe, avec $\Omega =\frac{2\pi }{120\mathrm{s}}=5,24\times 10^{-2}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. Les axes de la nacelle, l'un horizontal et l'autre vertical, gardent leur direction : ${\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{e}{}^{\prime }}{\mathrm{d}t}|}_{\mathcal{R}}=\overrightarrow{0}={\overrightarrow{\Omega }}_{\text{nac}}\wedge \overrightarrow{e}{}^{\prime }$ pour tout vecteur lié, donc ${\overrightarrow{\Omega }}_{\text{nac}}=\overrightarrow{0}$. ${\mathcal{R}}_{\text{nac}}$ est en translation circulaire : son origine décrit un cercle, ses axes ne tournent pas.

1b) Uniforme contre linéaire. Pour la nacelle, ${\overrightarrow{v}}_e(M)=\overrightarrow{v}(O^{\prime })$ et ${\overrightarrow{a}}_e(M)=\overrightarrow{a}(O^{\prime })$ en tout point : la tête et les pieds du passager ont la même vitesse, $\Omega R=1,05\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et la même accélération, dirigée vers $C$, ${\Omega }^{2}R=5,48\times 10^{-2}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, soit $0,56\%$ de $g$. Dans ${\mathcal{R}}_{\text{roue}}$, d'origine $C$ fixe, ${\overrightarrow{v}}_e(M)=\overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{CM}$ croît linéairement avec la distance à l'axe, de $0$ à $1,05\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Même trajectoire de l'origine, champs sans rapport.

1c) Pas de Coriolis. ${\overrightarrow{a}}_c=2{\overrightarrow{\Omega }}_{\text{nac}}\wedge {\overrightarrow{v}}_r=\overrightarrow{0}$ : c'est le vecteur rotation du référentiel qui compte, pas la vitesse angulaire de son origine autour de $C$.

2a) La voiture tourne. L'axe longitudinal, vecteur lié, tourne d'un tour par tour de rond-point : $\overrightarrow{\Omega }=\frac{v}{\rho }{\overrightarrow{u}}_z=0,35\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}{\overrightarrow{u}}_z\ne \overrightarrow{0}$. Ce n'est pas une translation. Le point du référentiel de la voiture qui coïncide avec $P$ a la vitesse $\overrightarrow{v}(G)+\overrightarrow{\Omega }\wedge \overrightarrow{GP}=v{\overrightarrow{u}}_{\theta }+\frac{v}{\rho }{\overrightarrow{u}}_z\wedge (-\rho {\overrightarrow{u}}_r)=\overrightarrow{0}$ : c'est une rotation uniforme autour de l'axe vertical fixe passant par $P$, point qui n'appartient pas à la voiture — un référentiel s'étend à tout l'espace.

2b) Le différentiel. Chaque centre de roue est fixe dans ce référentiel : $v_{\text{int}}=0,35\times 19,25=6,74\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $v_{\text{ext}}=0,35\times 20,75=7,26\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $8\%$ d'écart. Sur un essieu rigide, une roue glisserait : il faut un différentiel, étudié à l'exercice sur le train épicycloïdal.

3a) Le référentiel lunaire tourne. Le vecteur $\overrightarrow{LO}$, qui pointe vers le centre de la face visible, est lié à la Lune ; il fait un tour par mois autour de la normale au plan de l'orbite. Et $O$, à distance constante dans une direction liée à la Lune, est fixe dans ${\mathcal{R}}_L$. ${\mathcal{R}}_L$ est donc en rotation uniforme autour de l'axe fixe passant par $O$, normal à l'orbite : ${\Omega }_{L/G}=\frac{2\pi }{27,32\times 86400\mathrm{s}}=2,66\times 10^{-6}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$.

3b) Le même champ, deux lectures. Origine $O$ : ${\overrightarrow{v}}_e(M)={\overrightarrow{\Omega }}_{L/G}\wedge \overrightarrow{OM}$. Origine $L$ : ${\overrightarrow{v}}_e(M)=\overrightarrow{v}(L)+{\overrightarrow{\Omega }}_{L/G}\wedge \overrightarrow{LM}$, avec $\overrightarrow{v}(L)={\overrightarrow{\Omega }}_{L/G}\wedge \overrightarrow{OL}$ ; c'est la même chose puisque $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{LM}$. La seconde forme se lit : une translation circulaire du centre, plus une rotation de la Lune sur elle-même, avec le même vecteur rotation. Réponse : oui, par rapport aux étoiles la Lune fait un tour sur elle-même par mois sidéral ; c'est dans un référentiel qui suit la droite Terre-Lune qu'elle ne tourne pas. Le vecteur rotation appartient au référentiel ; la position de « l'axe » dépend de l'origine choisie. En translation circulaire, comme une nacelle, elle nous montrerait toutes ses faces en un mois.

3c) Ordres de grandeur. $v(L)=2,66\times 10^{-6}\times 3,84\times 10^8=1,02\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$, $a(L)={\Omega }_{L/G}^{2}d=2,72\times 10^{-3}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, vers $O$.

3d) Le géocentrique. Ses axes sont, par définition, parallèles à ceux du référentiel de Copernic : $\overrightarrow{\Omega }=\overrightarrow{0}$, c'est une translation, quasi circulaire, de champ uniforme : $v_e=\frac{2\pi \times 1,50\times 10^{11}}{365,25\times 86400}=29,8\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$, $a_e=5,93\times 10^{-3}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. C'est la nacelle à l'échelle du système solaire.

Ce que l'exercice installe. Le mouvement d'un référentiel se caractérise par ses axes : translation ($\overrightarrow{\Omega }=\overrightarrow{0}$, même sur une trajectoire courbe) ou rotation uniforme autour d'un axe fixe. Le champ ${\overrightarrow{v}}_e$ est uniforme dans le premier cas, proportionnel à la distance à l'axe dans le second ; le vecteur rotation appartient au référentiel, l'axe dépend de l'origine.