Bille sur une tige tournante

Plaçons-nous dans le référentiel de la tige (tournant). La bille se déplace radialement : ${\overrightarrow{v}}_{\mathrm{rel}}=\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r$. Les forces : le poids $-mg{\overrightarrow{e}}_z$ ; la réaction de la tige, perpendiculaire à la tige faute de frottement, $\overrightarrow{N}=N_{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }+N_z{\overrightarrow{e}}_z$ ; la force centrifuge $m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$ (radiale) ; la force de Coriolis $-2m\Omega {\overrightarrow{e}}_z\wedge \dot{r}{\overrightarrow{e}}_r=-2m\Omega \dot{r}{\overrightarrow{e}}_{\theta }$ (orthoradiale). Les trois projections du PFD donnent

$$m\ddot{r}=m{\Omega }^{2}r,0=N_{\theta }-2m\Omega \dot{r},0=N_z-mg.$$

La réaction a donc une composante verticale $N_z=mg$, qui porte le poids, et une composante orthoradiale $N_{\theta }=2m\Omega \dot{r}$, qui reprend la force de Coriolis : c'est la tige qui pousse la bille dans le sens de rotation. L'équation radiale s'écrit

$$\ddot{r}-{\Omega }^{2}r=0,$$

de solution $r(t)=A{\mathrm{e}}^{\Omega t}+B{\mathrm{e}}^{-\Omega t}$ : la bille est éjectée exponentiellement vers l'extérieur, la force centrifuge n'ayant aucun rappel.