Bilan énergétique d'une descente — exercice corrigé de mécanique (MPI) (chapitre 3)

Bilan énergétique d'une descente

Lois du frottement solide · niveau 2

Énoncé

Un bloc lâché sans vitesse en haut d'un plan incliné de longueur $ℓ$ et d'angle $θ$ (tel que $tan θ > f_{s}$ ) arrive en bas à la vitesse $v_{f}$ . Retrouver $v_{f}$ par un bilan d'énergie et la fraction de l'énergie potentielle perdue qui est dissipée par frottement. Application : $ℓ = 2 m$ , $θ = 3 0^{\circ}$ , $f_{d} = 0, 3$ .

Corrigé

Comme $tan θ > f_{s}$ , le bloc décroche et glisse vers le bas, avec $N = m g cos θ$ et $T = f_{d} m g cos θ$ . Le support est fixe : le frottement dissipe $f_{d} m g cos θ ℓ$ ; la réaction normale ne travaille pas ; le poids fournit $m g ℓ sin θ$ . Le théorème de l'énergie cinétique donne

$\frac{1}{2} m v_{f}^{2} = m g ℓ sin θ - f_{d} m g ℓ cos θ ⟹ v_{f} = 2 g ℓ (sin θ - f_{d} cos θ) .$

La fraction de l'énergie potentielle perdue qui est dissipée vaut $\frac{f _{d} m g ℓ cos θ}{m g ℓ sin θ} = \frac{f _{d}}{tan θ}$ , indépendante de $ℓ$ et de $m$ ; elle tend vers $1$ quand $tan θ \to f_{d}$ (le bloc arrive à vitesse presque nulle). Application : $v_{f} = 2 \times 9, 81 \times 2 \times (0, 5 - 0, 26) \approx 3, 1 m / s$ et $f_{d} / tan θ = 0, 52$ : plus de la moitié de l'énergie part en chaleur.