Bloc tiré vers le haut d'un plan incliné

Lois du frottement solide · niveau 2

Énoncé

Sur un plan incliné d'un angle $θ$ (coefficient statique $f_{s}$ ), on tire un bloc de masse $m$ parallèlement au plan avec une force $F$ dirigée vers le haut. Déterminer l'intervalle de $F$ pour lequel le bloc reste en équilibre. Application : $m = 2, 0 kg$ , $θ = 3 0^{\circ}$ , $f_{s} = 0, 40$ .

Corrigé

Le sens de $T$ n'est pas connu : il dépend de $F$ . On pose $T = T e_{x}$ (avec $e_{x}$ vers le haut de la pente, $T$ algébrique) et l'on suppose l'adhérence. Projections de l'équilibre : $N = m g cos θ$ et $F + T - m g sin θ = 0$ , d'où $T = m g sin θ - F$ . La condition $∣ T ∣ \leq f_{s} m g cos θ$ donne

$m g (sin θ - f_{s} cos θ) \leq F \leq m g (sin θ + f_{s} cos θ) .$

À la borne inférieure, $T > 0$ : le bloc est sur le point de descendre, le frottement le retient vers le haut. À la borne supérieure, $T < 0$ : il est sur le point de monter, le frottement tire vers le bas. Entre les deux, $T$ change de signe, et il s'annule pour $F = m g sin θ$ . Si $tan θ \leq f_{s}$ , la borne inférieure est négative : le bloc tient seul, et l'intervalle commence à $F = 0$ . Application : $m g = 19, 6 N$ , $sin θ = 0, 5$ , $f_{s} cos θ = 0, 346$ : $3, 0 N \leq F \leq 16, 6 N$ . Tout l'intervalle se lit sur le cône : $R$ peut balayer le cône d'une génératrice à l'autre.