Le tapis roulant : le frottement qui fait avancer, et qui paie la chaleur

La stratégie. On résout d'abord la dynamique (hypothèse de glissement, puis d'adhérence), puis on fait les bilans en distinguant soigneusement trois choses : le travail de $\overrightarrow{T}$ sur la valise (qui dépend du référentiel), le travail fourni par le moteur, et l'énergie dissipée, qui ne dépend que du mouvement relatif.

1) La mise en vitesse. Posée sans vitesse sur un tapis qui avance, la valise a une vitesse relative ${\overrightarrow{v}}_g=(v-V){\overrightarrow{e}}_x$ avec $v=0<V$ : elle glisse vers l'arrière par rapport au tapis (l'adhérence exigerait de passer de $0$ à $V$ instantanément). Donc $\overrightarrow{T}=+f_{d}mg{\overrightarrow{e}}_x$, vers l'avant : le frottement entraîne la valise. Accélération $f_{d}g=3,92\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ ; le glissement dure jusqu'à $v=V$ : $$t_g=\frac{V}{f_{d}g}=0,127\mathrm{s},x_{\text{valise}}=\frac{V^2}{2f_{d}g}=3,2\mathrm{cm},x_{\text{tapis}}=V{t}_g=\frac{V^2}{f_{d}g}=6,4\mathrm{cm}.$$ Le tapis a parcouru le double de la valise ; la distance de glissement relative vaut $3,2\mathrm{cm}$. Ensuite, valise et tapis vont à la même vitesse, $\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}$ : l'adhérence est trivialement validée.

2) Le bilan, dans le référentiel du sol.

• Travail de $\overrightarrow{T}$ sur la valise : $W_T=f_{d}mg{x}_{\text{valise}}=78,5\times 0,0319=+2,5\mathrm{J}$, positif. C'est exactement l'énergie cinétique acquise, $\frac{1}{2}m{V}^2=\frac{1}{2}\times 20\times 0,25=2,5\mathrm{J}$ (théorème de l'énergie cinétique : $\overrightarrow{T}$ est la seule force horizontale).
• Énergie dissipée : $f_{d}mg(x_{\text{tapis}}-x_{\text{valise}})=78,5\times 0,0319=2,5\mathrm{J}$.
• Travail du moteur : il exerce sur le tapis une force qui compense $-\overrightarrow{T}$, de puissance $f_{d}mgV$, soit $W_{\text{mot}}=f_{d}mg{x}_{\text{tapis}}=5,0\mathrm{J}$.

$5,0=2,5+2,5$ : le moteur fournit le double de l'énergie cinétique donnée, la moitié part en chaleur. En littéral, $W_{\text{mot}}=f_{d}mg\cdot \frac{V^2}{f_{d}g}=m{V}^2$, et la dissipation vaut $\frac{1}{2}m{V}^2$ : ni $f_d$ ni la durée n'interviennent. Un frottement plus fort accélère plus vite, sur une distance plus courte, et dissipe autant. C'est la même proportion « moitié-moitié » que lorsqu'on charge un condensateur à travers une résistance.

3) La puissance des deux actions de contact. Dans le référentiel du sol, la valise (vitesse $\overrightarrow{v}$) reçoit la puissance $\overrightarrow{T}\cdot \overrightarrow{v}$ et le tapis (vitesse $\overrightarrow{V}$) reçoit $-\overrightarrow{T}\cdot \overrightarrow{V}$. Total : $${\mathcal{P}}_{\text{contact}}=\overrightarrow{T}\cdot (\overrightarrow{v}-\overrightarrow{V})=\overrightarrow{T}\cdot {\overrightarrow{v}}_g=-f_{d}N\Vert {\overrightarrow{v}}_g\Vert \le 0.$$ Seule la vitesse relative y figure : elle est la même dans tous les référentiels galiléens (qui se déduisent les uns des autres par translation uniforme). C'est cette puissance, et non celle de $\overrightarrow{T}$ sur un seul des deux solides, qui mesure la dissipation ; sur un support fixe, les deux coïncident, ce qui est le cas du cours. Dans le référentiel du tapis (galiléen, puisqu'il est en translation uniforme), la valise part à $-V$ et s'arrête : $W_T=0-\frac{1}{2}m{V}^2=-2,5\mathrm{J}$, négatif, alors qu'il valait $+2,5\mathrm{J}$ dans le référentiel du sol. Le travail d'une force dépend du référentiel ; la dissipation, non : $2,5\mathrm{J}$ dans les deux.

4) Le tapis montant. Même hypothèse (glissement, valise en retard sur le tapis), donc $\overrightarrow{T}$ vers le haut de la pente, $N=mg\cos \alpha =189,5\mathrm{N}$, $\Vert \overrightarrow{T}\Vert =f_{d}N=75,8\mathrm{N}$, et $$a=g(f_d\cos \alpha -\sin \alpha )=9,81\times (0,386-0,259)=1,25\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}>0:$$ la valise accélère vers le haut, ce qui valide l'hypothèse ; cela exige $f_d>\tan \alpha$ ($0,40>0,27$). Durée $t_g=V/a=0,40\mathrm{s}$ ; valise $V^2/(2a)=10,0\mathrm{cm}$ ; tapis $V{t}_g=20,0\mathrm{cm}$. Bilan :

• moteur : $f_{d}N\times 0,200=15,1\mathrm{J}$ ;
• énergie cinétique : $\frac{1}{2}m{V}^2=2,5\mathrm{J}$ ;
• énergie potentielle : $mg\times 0,0999\times \sin 15^{\circ }=5,1\mathrm{J}$ ;
• dissipée : $f_{d}N\times (0,200-0,100)=7,6\mathrm{J}$.

$2,5+5,1+7,6=15,1\mathrm{J}$ : le bilan est fermé. La pente coûte cher en dissipation : le glissement dure trois fois plus longtemps qu'à plat.

5) Le frottement statique travaille. Une fois $v=V$, hypothèse d'adhérence : la valise monte à vitesse constante, donc $\Vert \overrightarrow{T}\Vert =mg\sin \alpha =50,8\mathrm{N}$, à comparer à $f_{s}N=94,8\mathrm{N}$ : validée ($\tan 15^{\circ }=0,27<f_s$). La puissance de $\overrightarrow{T}$ reçue par la valise vaut $\Vert \overrightarrow{T}\Vert V=25,4\mathrm{W}$ : le frottement statique fournit du travail à la valise, qui le stocke en énergie potentielle ($mgV\sin \alpha =25,4\mathrm{W}$). La puissance dissipée, $\overrightarrow{T}\cdot {\overrightarrow{v}}_g$, est nulle puisque ${\overrightarrow{v}}_g=\overrightarrow{0}$. La phrase du cours est donc exacte sur un support fixe ; en général, il faut dire : en adhérence, la puissance totale des deux actions de contact est nulle, le frottement statique ne dissipe pas ; il transmet de l'énergie d'un solide à l'autre. C'est ce que fait une courroie, ou le sol sous les pieds d'un coureur.

6) Cas limites. Quand $\tan \alpha \to f_d$ par valeurs inférieures, $a\to 0$ : la durée $V/a$ et la distance de glissement relative $V^2/(2a)$ divergent, et la dissipation $f_{d}N{V}^2/(2a)$ aussi ; il faut un moteur de plus en plus puissant pour un résultat de plus en plus lent. Si $f_d<\tan \alpha \le f_s$, la valise posée glisse vers le bas avec $a=g(f_d\cos \alpha -\sin \alpha )<0$ : elle descend en accélérant, et ne rattrapera jamais le tapis, alors qu'une valise posée à la vitesse du tapis y resterait collée. On retrouve l'hystérésis du plan incliné : l'état final dépend de l'état initial du contact.

Ce que l'exercice installe. Sur un support mobile, le frottement peut être moteur, et le frottement statique peut travailler. Ce qui ne dépend pas du référentiel, et seul mesure la dissipation, c'est la puissance totale des deux actions de contact, $\overrightarrow{T}\cdot {\overrightarrow{v}}_g=-f_{d}N\Vert {\overrightarrow{v}}_g\Vert$ en glissement, nulle en adhérence. Résultat à retenir : un tapis qui met en vitesse un objet par frottement en dissipe autant qu'il lui en donne, quel que soit $f_d$.