Le tiroir qui se coince, le serre-joint qui serre : l'arc-boutement

La stratégie. Le tiroir est immobile au seuil : on écrit l'équilibre des forces et celui des moments (outil de première année), puis la loi de Coulomb au seuil sur les trois contacts, qui glissent ensemble puisque le tiroir est en translation. Le point clé : les réactions latérales sont créées par la traction elle-même.

1) Forces et moments. Forces horizontales : $\overrightarrow{F}$ ; en $A$, la réaction normale $-Q_A{\overrightarrow{e}}_y$ (la glissière repousse le coin vers l'axe) et le frottement $-f_s{Q}_A{\overrightarrow{e}}_x$ ; en $B$, la réaction normale $+Q_B{\overrightarrow{e}}_y$ et le frottement $-f_s{Q}_B{\overrightarrow{e}}_x$ ; au fond, le frottement $-f_{s}mg{\overrightarrow{e}}_x$ (la réaction normale du fond équilibre le poids). L'équilibre selon ${\overrightarrow{e}}_y$ donne $Q_A=Q_B=Q$ : les deux réactions latérales forment un couple. Moments par rapport à l'axe vertical passant par l'origine $O$ prise sur l'axe du tiroir, à l'entrée du meuble : la force $\overrightarrow{F}$, de bras de levier $e$, a le moment $-eF$ ; le couple des réactions latérales, de bras de levier $\ell$, a le moment $+Q\ell$ ; les deux frottements latéraux, égaux, parallèles et appliqués de part et d'autre de l'axe à la même distance, ont des moments opposés ; le frottement du fond, porté par l'axe, a un moment nul. Donc $$Q\ell =Fe⟹Q=\frac{e}{\ell }F.$$ On vérifie $Q\ge 0$ : les contacts supposés en $A$ et $B$ sont bien les bons.

2) La force nécessaire. Selon ${\overrightarrow{e}}_x$, au seuil : $F=2f_{s}Q+f_{s}mg=\frac{2f_{s}e}{\ell }F+f_{s}mg$, d'où $$F\left(1-\frac{2f_{s}e}{\ell }\right)=f_{s}mg⟹F=\frac{f_{s}mg}{1-\frac{2f_{s}e}{\ell }}.$$ Tiré par le milieu ($e=0$) : $F=f_{s}mg=0,40\times 2,0\times 9,81=7,8\mathrm{N}$. Par la poignée décalée, avec $\ell =12\mathrm{cm}$ : $2f_{s}e/\ell =0,08/0,12=0,67$, et $F=7,85/0,333=23,5\mathrm{N}$, trois fois plus. Les deux tiers de l'effort servent à vaincre un frottement que l'effort lui-même a créé.

3) L'arc-boutement. Si $\ell \le 2f_{s}e$, le facteur $1-2f_{s}e/\ell$ est négatif ou nul : l'équation n'a pas de solution positive. Pour toute force $F$, le frottement latéral disponible $2f_{s}Q=2f_s(e/\ell )F$ dépasse déjà $F$ : le tiroir ne bouge pas, et tirer plus fort n'y change rien puisque le frottement disponible croît dans la même proportion. Le seuil ne dépend ni de $F$ ni de $m$. Ici ${\ell }_c=2f_{s}e=8\mathrm{cm}$ : le tiroir glisse bien tant qu'il est profondément engagé, puis se coince en fin de course, quand la longueur engagée devient inférieure à $8\mathrm{cm}$. Pour le décoincer, il faut annuler le bras de levier : le tirer par le milieu, ou à deux mains, ou le repousser un peu (le couple change de sens et libère les coins). Le menuisier, lui, allonge les glissières ou les lubrifie ($f_s$ petit).

4) Le serre-joint. Même géométrie, sans le poids : la force $P$ exercée par la pièce, à la distance $d$ de l'axe de la barre, fait pivoter le mors dans son jeu ; il touche la barre aux deux bords opposés du trou, distants de $b$ le long de la barre, avec des réactions $Q=Pd/b$. Le mors glisse si $P>2f_{s}Q=2f_s\frac{d}{b}P$, c'est-à-dire si $d<\frac{b}{2f_s}$. Dès que $$d\ge \frac{b}{2f_s}=\frac{1,5}{2\times 0,20}=3,75\mathrm{cm},$$ aucune force de serrage ne fait reculer le mors : il est arc-bouté. Comme les mâchoires d'un serre-joint serrent à $5$ à $10\mathrm{cm}$ de la barre, il tient par construction, sans cran ni vis. Quand on ne serre pas, rien ne presse le mors contre la barre ($Q=0$), et on le fait coulisser en le poussant près de la barre ($d$ petit). L'arc-boutement, défaut du tiroir, est la fonction du serre-joint.

Ce que l'exercice installe. Quand l'effort appliqué crée lui-même les réactions normales qui le freinent, le frottement disponible est proportionnel à l'effort, et au-delà d'un seuil purement géométrique ($\ell \le 2f_{s}e$) aucune force ne suffit : c'est l'arc-boutement. On l'obtient par l'équilibre des forces et des moments d'un solide immobile au seuil, et le cas limite $e=0$ redonne $F=f_{s}mg$.