Le tour de la nappe

La stratégie. Trois phases : sur la nappe, sur la table, à l'arrêt. Dans chacune on fait une hypothèse sur l'état du contact, on la traite, on la valide. Le point délicat est le sens de $\overrightarrow{T}$ : il s'oppose à la vitesse de glissement, qui est la vitesse de l'assiette par rapport à la nappe, pas par rapport à la table.

1) L'adhérence est intenable. Adhérer, c'est avoir la vitesse de la nappe : passer de $0$ à $V$ en un temps négligeable, avec une accélération quasi infinie. Seule force horizontale : $\overrightarrow{T}$, donc $\Vert \overrightarrow{T}\Vert =ma$ immense, alors que l'adhérence exige $\Vert \overrightarrow{T}\Vert \le f_{s}N=f_{s}mg$. Hypothèse rejetée. Si la nappe accélérait à $a_n$, l'assiette adhérente aurait l'accélération $a_n$, et la condition s'écrirait $m{a}_n\le f_{s}mg$, soit $a_n\le f_{s}g=2,9\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ : en tirant lentement, on emporte l'assiette ; un coup sec dépasse ce seuil de très loin.

2) Le frottement fait avancer l'assiette. L'assiette part de l'arrêt, la nappe file à $V$ : la vitesse de l'assiette par rapport à la nappe est ${\overrightarrow{v}}_g=(v-V){\overrightarrow{e}}_x$, avec $v<V$, donc dirigée vers l'arrière. La loi de Coulomb donne $\overrightarrow{T}=-f_{d}N\frac{{\overrightarrow{v}}_g}{\Vert {\overrightarrow{v}}_g\Vert }=+f_{d}mg{\overrightarrow{e}}_x$ : le frottement tire l'assiette vers l'avant, dans le sens du mouvement de la nappe. (Verticalement, $N=mg$.) Donc $$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=f_{d}mg⟹v(t)=f_{d}gt,x(t)=\frac{1}{2}{f}_{d}g{t}^2,$$ avec $f_{d}g=2,45\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Validation : le glissement dure tant que $v<V$, soit $t<V/(f_{d}g)$ ($1,2\mathrm{s}$ pour $V=3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$).

3) L'assiette quitte la nappe. Le bord arrière de la nappe arrive sous l'assiette quand le déplacement relatif atteint $L$ : $$V{t}_1-\frac{1}{2}{f}_{d}g{t}_1^2=L⟹t_1=\frac{V-\sqrt{V^2-2f_{d}gL}}{f_{d}g},$$ la plus petite racine (la première rencontre). Elle existe si $V^2\ge 2f_{d}gL$, soit $V\ge V_{\min }=\sqrt{2f_{d}gL}=\sqrt{2\times 0,25\times 9,81\times 0,30}\approx 1,21\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Alors $v_1=f_{d}g{t}_1=V-\sqrt{V^2-2f_{d}gL}$ et $x_1=\frac{v_1^2}{2f_{d}g}$. Pour $V=3,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $\sqrt{9-1,47}=2,744$, d'où $v_1=0,256\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $t_1=0,104\mathrm{s}$ et $x_1=0,256^2/4,905\approx 1,34\mathrm{cm}$. On vérifie $t_1<V/(f_{d}g)$ : l'hypothèse de glissement tient jusqu'au bout.

4) Sur la table. L'assiette arrive sur la table avec $v_1>0$ : elle y glisse, ${\overrightarrow{v}}_g=v{\overrightarrow{e}}_x$, et le frottement est maintenant opposé au mouvement, $\overrightarrow{T}=-f_d^{\prime }mg{\overrightarrow{e}}_x$ : décélération $f_d^{\prime }g=3,92\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, distance (théorème de l'énergie cinétique) $$x_2=\frac{v_1^2}{2f_d^{\prime }g}=\frac{0,0656}{7,85}\approx 0,84\mathrm{cm},D=x_1+x_2\approx 2,2\mathrm{cm}.$$ À l'arrêt, hypothèse d'adhérence : aucune autre force horizontale, donc $\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}$, et $0\le f_s^{\prime }mg$ : validée, l'assiette reste immobile.

5) Le seuil. Si $V<V_{\min }$, l'équation de la question 3 n'a pas de solution : l'assiette atteint la vitesse $V$, à l'instant $V/(f_{d}g)$, avant d'avoir atteint le bord de la nappe. Le glissement relatif cesse ; nouvelle hypothèse, l'adhérence : l'assiette suit la nappe à vitesse constante, donc $\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}$, ce qui respecte $\Vert \overrightarrow{T}\Vert \le f_{s}mg$. Validée : l'assiette part avec la nappe, et tombe au bout de la table. Au seuil exact $V=V_{\min }$, elle a glissé de $x_1=L=30\mathrm{cm}$ sur la nappe, puis de $V_{\min }^2/(2f_d^{\prime }g)\approx 19\mathrm{cm}$ sur la table : juste au-dessus du seuil, l'assiette avance d'un demi-mètre, et le tour est manqué.

6) Le coup sec. Pour $V\gg V_{\min }$, $\sqrt{V^2-2f_{d}gL}\approx V-\frac{f_{d}gL}{V}$, donc $v_1\approx \frac{f_{d}gL}{V}$ et $t_1\approx L/V$ : l'assiette est entraînée pendant le temps que met la nappe à défiler sous elle. Alors $$D=\frac{v_1^2}{2f_{d}g}+\frac{v_1^2}{2f_d^{\prime }g}\approx \frac{f_{d}g{L}^2}{2V^2}\left(1+\frac{f_d}{f_d^{\prime }}\right)\propto \frac{1}{V^2}.$$ À $V=3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, la formule approchée donne $2,0\mathrm{cm}$ (contre $2,2$ exactement). Le calcul exact donne $D=1\mathrm{cm}$ pour $V\approx 4,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; à $V=1,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $D\approx 13\mathrm{cm}$. Il faut donc tirer vite, et une nappe glissante (petit $f_d$) aide doublement. La masse n'intervient pas : $N=mg$ et toutes les accélérations sont des multiples de $g$ ; une assiette lourde ne « résiste » pas mieux qu'une légère.

Ce que l'exercice installe. La méthode hypothèse puis validation, enchaînée sur plusieurs phases ; la vitesse de glissement est une vitesse relative au support : quand le support va plus vite que le solide, le frottement est moteur. Et l'on lit les résultats : seuil $V_{\min }=\sqrt{2f_{d}gL}$, loi en $1/V^2$, indépendance vis-à-vis de la masse.