Mesurer $f_s$ et $f_d$ sur un plan incliné

La stratégie. Trois mesures, trois lois : l'équilibre limite (adhérence au seuil) donne $f_s$ ; un mouvement uniformément accéléré (glissement) donne $f_d$ ; la comparaison de deux mouvements de même longueur élimine $g$ et $d$. À chaque fois on vérifie l'hypothèse sur le contact, et l'on estime l'incertitude.

1) Le décrochage. Le cours l'établit : au repos, $N=mg\cos \theta$ et $T=mg\sin \theta$ ; l'adhérence exige $\tan \theta \le f_s$, et le décrochage se produit à $\tan {\theta }_{\ell }=f_s$. Moyenne des huit angles : $\bar{\theta }=24,1^{\circ }$ ; écart-type expérimental $s=1,1^{\circ }$ ; incertitude-type sur la moyenne $u(\bar{\theta })=s/\sqrt{8}=0,40^{\circ }$. Alors $f_s=\tan 24,1^{\circ }=0,448$, et par dérivation $$u(f_s)=\frac{u(\theta )}{{\cos }^2\theta }=\frac{0,40\times \pi /180}{{\cos }^{2}24,1^{\circ }}=\frac{6,9\times 10^{-3}}{0,833}\approx 0,008,$$ l'angle étant exprimé en radians. Donc $f_s=0,448\pm 0,008$. La dispersion de plus d'un degré dépasse de loin la lecture du rapporteur : elle est physique. Le bloc ne repose jamais exactement sur les mêmes jonctions, l'état des surfaces (poussière, humidité) varie, et le seuil croît avec la durée du contact (la croissance des jonctions). On répète donc, et l'on donne une moyenne.

2) La descente. À $30^{\circ }$, $\tan \theta =0,577>f_s=0,448$ : posé, le bloc décroche seul. En glissement vers le bas, le cours donne l'accélération $a=g(\sin \theta -f_d\cos \theta )$, constante ; parti du repos, $d=\frac{1}{2}a{t}^2$. Donc $$f_d=\tan \theta -\frac{2d}{g{t}^2\cos \theta }=0,577-\frac{1,60}{9,81\times 0,679\times 0,866}=0,577-0,277=0,300.$$ Sensibilité au temps : $f_d$ dépend de $t$ par le terme $-\frac{2d}{g\cos \theta }{t}^{-2}$, donc $$u(f_d)=\left|\frac{\partial f_d}{\partial t}\right|u(t)=\frac{4d}{g{t}^3\cos \theta }u(t)=\frac{3,2}{9,81\times 0,559\times 0,866}u(t)\approx 0,67{\mathrm{s}}^{-1}\times u(t).$$ Pour $u(f_d)=0,01$, il faut $u(t)\approx 15\mathrm{ms}$. Un chronomètre à main (temps de réaction, $0,1$ à $0,2\mathrm{s}$) donnerait $u(f_d)\approx 0,07$ à $0,13$ : inutilisable. Il faut des cellules photoélectriques ou une vidéo image par image (à 100 images par seconde, $u(t)\approx 10\mathrm{ms}$ et $u(f_d)\approx 0,007$).

3) L'aller-retour. Montée : le bloc glisse vers le haut, $\overrightarrow{T}$ est dirigée vers le bas ; le poids aussi. Décélération $a_{\uparrow }=g(\sin \theta +f_d\cos \theta )$. Descente : $\overrightarrow{T}$ vers le haut, accélération $a_{\downarrow }=g(\sin \theta -f_d\cos \theta )$. Les deux trajets ont la même longueur $d$ : la descente part du repos, $d=\frac{1}{2}{a}_{\downarrow }{t}_{\downarrow }^2$ ; la montée, uniformément décélérée jusqu'à l'arrêt, est la descente d'un mouvement d'accélération $a_{\uparrow }$ parcourue à l'envers dans le temps, donc $d=\frac{1}{2}{a}_{\uparrow }{t}_{\uparrow }^2$. D'où $$\frac{a_{\uparrow }}{a_{\downarrow }}=\frac{t_{\downarrow }^2}{t_{\uparrow }^2}⟺\frac{\sin \theta +f_d\cos \theta }{\sin \theta -f_d\cos \theta }=\frac{t_{\downarrow }^2}{t_{\uparrow }^2}⟺f_d=\tan \theta \frac{t_{\downarrow }^2-t_{\uparrow }^2}{t_{\downarrow }^2+t_{\uparrow }^2}.$$ Numériquement : $t_{\downarrow }^2=0,340{\mathrm{s}}^2$, $t_{\uparrow }^2=0,108{\mathrm{s}}^2$, $f_d=0,577\times \frac{0,232}{0,448}=0,300$, en accord avec la question 2. Ni $g$, ni la distance, ni la vitesse de lancement n'interviennent, et une erreur d'étalonnage de l'horloge (un facteur commun sur les deux durées) s'élimine dans le rapport. (Ici $d=0,40\mathrm{m}$ et le bloc a été lancé à $2,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; on n'en a pas besoin.) À l'arrêt en haut, le bloc redescend parce que $\tan 30^{\circ }=0,577>f_s$ : l'adhérence y est impossible. À une inclinaison inférieure à ${\phi }_s$, il resterait en haut, et la méthode échouerait : on choisit $\theta >{\phi }_s$.

4) La plage d'hystérésis. ${\phi }_d=\arctan 0,300=16,7^{\circ }$ et ${\phi }_s=24,1^{\circ }$. Entre les deux, le bloc posé reste ($\tan \theta <f_s$), mais le bloc lancé vers le bas accélère ($\tan \theta >f_d$, donc $a>0$ vers le bas) : il ne s'arrêtera jamais. Au-dessous de $16,7^{\circ }$, le bloc lancé ralentit et s'arrête ; au-dessus de $24,1^{\circ }$, il décroche même posé.

Ce que l'exercice installe. Le plan incliné mesure les deux coefficients : $f_s$ par l'angle de décrochage (répété, car la dispersion est physique), $f_d$ par un mouvement uniformément accéléré, ou mieux par le rapport des durées d'un aller-retour, qui élimine $g$ et $d$. Les incertitudes se propagent par dérivation, et dictent l'instrument. Entre ${\phi }_d$ et ${\phi }_s$, l'état du bloc dépend de son histoire : c'est l'hystérésis du frottement.