Oscillateur amorti par frottement solide

Lois du frottement solide · niveau 2

Énoncé

Un palet de masse $m = 200 g$ , attaché à un ressort horizontal de raideur $k = 20 N / m$ dont l'autre extrémité est fixe, glisse sur une table ( $f_{s} = f_{d} = f = 0, 3$ ). On repère sa position $x$ à partir de la position où le ressort est au repos. On le lâche sans vitesse en $x_{0} = 20 cm$ . Décrire le mouvement, et déterminer où et quand le palet s'arrête définitivement. Comparer avec un amortissement visqueux.

Corrigé

On pose $ω = k / m = 10 rad / s$ et $δ = f m g / k = 2, 94 cm$ . Départ : en $x_{0}$ , la tension $k x_{0} = 4 N$ dépasse $f_{s} m g = 0, 59 N$ : l'adhérence est impossible, le palet part vers $x < 0$ . Première phase, $x ˙ < 0$ : le frottement est dirigé vers $+ e_{x}$ et $m x ¨ = - k x + f m g$ , soit $x ¨ + ω^{2} (x - δ) = 0$ : une oscillation harmonique autour du centre décalé $+ δ$ . Partie du repos à $x_{0}$ , elle s'arrête une demi-période $π / ω$ plus tard, symétriquement, en $x_{1} = 2 δ - x_{0} = - 14, 1 cm$ . Deuxième phase, $x ˙ > 0$ : centre $- δ$ , arrêt en $x_{2} = - 2 δ - x_{1} = 8, 2 cm$ ; puis $x_{3} = 2 δ - x_{2} = - 2, 3 cm$ . À chaque arrêt, on teste l'adhérence : le palet reste immobile si $k ∣ x ∣ \leq f_{s} m g$ , c'est-à-dire si $∣ x ∣ \leq δ$ . C'est faux en $x_{1}$ et $x_{2}$ , vrai en $x_{3}$ : le palet s'arrête définitivement en $x_{3} = - 2, 3 cm$ , au bout de trois demi-périodes, $3 π / ω \approx 0, 94 s$ , ressort encore tendu.

L'amplitude décroît linéairement, de $2 δ = 5, 9 cm$ par demi-période (20 ; 14,1 ; 8,2 ; 2,3), et le mouvement s'arrête en un temps fini, n'importe où dans la zone morte $∣ x ∣ \leq δ$ . Un frottement visqueux donnerait au contraire une décroissance géométrique (amplitude multipliée par un facteur constant à chaque période) et un retour asymptotique, jamais atteint, à $x = 0$ . La pulsation, elle, n'est pas modifiée par le frottement solide.