Problème : le broutement (stick-slip), un changement de mode de glissement calculé, mesuré, simulé

La stratégie. Chaque phase commence par une hypothèse et finit par sa validation ; c'est précisément le « changement de mode de glissement » que le programme demande de simuler. En glissement, le frottement est constant : il ne fait que décaler la position d'équilibre de l'oscillateur, et la phase de glissement est un morceau d'oscillation harmonique. Le bilan d'énergie donne ensuite, sans aucun calcul de moyenne, la tension moyenne.

1) Adhérence et décrochage. Patin immobile : $\dot{x}=0$, $\ddot{x}=0$. Forces horizontales : la tension $F=kVt$ vers l'avant et $\overrightarrow{T}$. L'équilibre donne $\overrightarrow{T}=-kVt{\overrightarrow{e}}_x$ : $\Vert \overrightarrow{T}\Vert$ vaut la tension, et non $f_{s}mg$. Verticalement, $N=mg$. L'hypothèse tient tant que $kVt\le f_{s}mg$, soit jusqu'à $$t_0=\frac{f_{s}mg}{kV}=\frac{0,50\times 0,200\times 9,81}{20\times 5,0\times 10^{-3}}=9,81\mathrm{s},$$ l'allongement valant alors $f_{s}mg/k=4,9\mathrm{cm}$ (tension $0,981\mathrm{N}$).

2) Le glissement est une oscillation décalée. Hypothèse $\dot{x}>0$ : $\overrightarrow{T}=-f_{d}mg{\overrightarrow{e}}_x$, et la deuxième loi de Newton donne $$m\ddot{x}=k(Vt-x)-f_{d}mg.$$ Avec $u=(Vt-x)-f_{d}mg/k$ : $\dot{u}=V-\dot{x}$ et $\ddot{u}=-\ddot{x}=-\frac{k}{m}u$, soit $\ddot{u}+{\omega }^{2}u=0$. Au décrochage, l'allongement vaut $f_{s}mg/k$, donc $u(0)=\frac{(f_s-f_d)mg}{k}=A$, et le patin est immobile, donc $\dot{u}(0)=V$. D'où $u(t)=A\cos \omega t+\frac{V}{\omega }\sin \omega t$ et $$\dot{x}=V-\dot{u}=V(1-\cos \omega t)+A\omega \sin \omega t.$$ Numériquement, $\omega =\sqrt{20/0,200}=10\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $A=\frac{0,15\times 0,200\times 9,81}{20}=1,47\mathrm{cm}$, $A\omega =0,147\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $A\omega /V=29$ : la vitesse de glissement est trente fois celle du moteur. Le frottement dynamique constant décale simplement l'équilibre de l'oscillateur à l'allongement $f_{d}mg/k$ ; le patin, qui part d'un allongement plus grand ($f_{s}mg/k$), oscille autour.

3) Fin du glissement, ré-adhérence, périodicité. Par les formules de l'angle moitié, $$\dot{x}=2\sin \frac{\omega t}{2}\left[V\sin \frac{\omega t}{2}+A\omega \cos \frac{\omega t}{2}\right].$$ Le crochet, positif en $t=0$, s'annule quand $\tan \frac{\omega t}{2}=-\frac{A\omega }{V}$, soit, avec $\beta =\arctan \frac{A\omega }{V}\in \left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, pour $\frac{\omega t^{\ast }}{2}=\pi -\beta$ : $$\omega t^{\ast }=2\pi -2\arctan \frac{A\omega }{V}.$$ Sur $]0,t^{\ast }[$, les deux facteurs sont strictement positifs : l'hypothèse $\dot{x}>0$ est validée jusqu'à $t^{\ast }$. À cet instant, $\cos \omega t^{\ast }=\cos 2\beta =\frac{V^2-A^2{\omega }^2}{V^2+A^2{\omega }^2}$ et $\sin \omega t^{\ast }=-\sin 2\beta =-\frac{2A\omega V}{V^2+A^2{\omega }^2}$, d'où $$u(t^{\ast })=\frac{A(V^2-A^2{\omega }^2)-2A{V}^2}{V^2+A^2{\omega }^2}=-A.$$ Le glissement est une demi-oscillation symétrique autour de l'équilibre décalé : il part de $u=A$, il s'arrête en $u=-A$. La tension $F=k(Vt-x)=f_{d}mg+ku$ passe de $f_{d}mg+kA=f_{s}mg$ à $f_{d}mg-kA=(2f_d-f_s)mg$ : elle a chuté de $2(f_s-f_d)mg=0,59\mathrm{N}$, de $0,98\mathrm{N}$ à $0,39\mathrm{N}$, quelle que soit la vitesse $V$.

Ré-adhérence. Le patin s'arrête ; hypothèse d'adhérence : $\Vert \overrightarrow{T}\Vert =F=(2f_d-f_s)mg=0,39\mathrm{N}\le f_{s}mg=0,98\mathrm{N}$ (car $f_d\le f_s$) : validée, le patin reste collé. La tension remonte alors linéairement, à la vitesse $kV$, de $(2f_d-f_s)mg$ à $f_{s}mg$ : la phase d'adhérence dure $\frac{2(f_s-f_d)mg}{kV}=\frac{2A}{V}$, puis le patin décroche dans le même état qu'au premier décrochage (même tension, vitesse nulle, extrémité du ressort à $V$). Le mouvement est donc périodique :

• adhérence : $2A/V=5,89\mathrm{s}$ ;
• glissement : $t^{\ast }=(2\pi -2\arctan 29,4)/10=0,321\mathrm{s}$, à peine plus qu'une demi-période propre $\pi /\omega =0,314\mathrm{s}$ (car $A\omega \gg V$, $\beta \approx \pi /2$) ;
• période : $T_{\text{cycle}}=6,21\mathrm{s}$ ;
• avance du patin par cycle : la tension revient à sa valeur, donc l'allongement aussi, et le patin avance d'autant que l'extrémité du ressort, $V{T}_{\text{cycle}}=3,1\mathrm{cm}$, d'un bond, pendant le glissement.

4) Le signal du capteur. La tension dessine des dents de scie : rampes lentes de pente $kV=0,1\mathrm{N}{\mathrm{s}}^{-1}$ (adhérence, $5,9\mathrm{s}$), chutes brutales de $0,59\mathrm{N}$ (glissement, $0,32\mathrm{s}$). Pendant le glissement, $F=f_{d}mg+ku$ et $u=A\cos \omega t+\frac{V}{\omega }\sin \omega t$ a l'amplitude $\sqrt{A^2+V^2/{\omega }^2}$ : la tension oscille entre $$f_{d}mg\pm k\sqrt{A^2+\frac{V^2}{{\omega }^2}}.$$ Le maximum est atteint juste après le décrochage, en $\omega t=\arctan \frac{V}{A\omega }$, et il dépasse $f_{s}mg=f_{d}mg+kA$ : au décrochage, le patin part avec une vitesse nulle tandis que l'extrémité du ressort continue d'avancer à $V$, donc le ressort s'allonge encore un court instant. Ce n'est pas une violation de la loi de Coulomb : l'inégalité $\Vert \overrightarrow{T}\Vert \le f_{s}N$ porte sur la réaction du support, qui vaut ici $f_{d}mg$ ; la tension du ressort, elle, n'est bornée par rien. Le dépassement vaut $k\left(\sqrt{A^2+V^2/{\omega }^2}-A\right)\approx \frac{k{V}^2}{2A{\omega }^2}=1,7\times 10^{-4}\mathrm{N}$, soit $0,02\%$ du pic et $0,06\%$ de la chute : négligeable tant que $V\ll A\omega$, et symétriquement pour le creux, à peine sous $(2f_d-f_s)mg$. Lecture : à vitesse lente, le pic donne $f_{s}mg$, donc $f_s=0,981/(0,200\times 9,81)=0,50$.

5) Le bilan d'énergie. Sur un cycle, le patin revient au même état (vitesse nulle, même allongement) : énergie cinétique et énergie élastique reprennent leur valeur. Le moteur fournit le travail $\int FV\mathrm{d}t=V⟨F⟩T_{\text{cycle}}$. Le support est fixe : pendant l'adhérence, ${\overrightarrow{v}}_g=\overrightarrow{0}$ et le frottement statique ne travaille pas ; pendant le glissement, le frottement dynamique dissipe $f_{d}mg$ fois la distance glissée, qui est l'avance du patin, $V{T}_{\text{cycle}}$. Le bilan s'écrit donc $$V⟨F⟩T_{\text{cycle}}=f_{d}mgV{T}_{\text{cycle}}⟹\boxed{⟨F⟩=f_{d}mg}$$ exactement, quels que soient $k$, $V$ et $f_s$. Ici $⟨F⟩=0,35\times 0,200\times 9,81=0,687\mathrm{N}$ ; énergie dissipée par cycle $0,687\times 3,10\times 10^{-2}=21\mathrm{mJ}$ ; puissance moyenne $f_{d}mgV=3,4\mathrm{mW}$. Contrôle sans bilan : pendant l'adhérence, la rampe va de $(2f_d-f_s)mg$ à $f_{s}mg$, de moyenne $f_{d}mg$ ; pendant le glissement, $F$ oscille autour de $f_{d}mg$. Mesure au dynamomètre : on tire lentement un patin par un ressort ; le pic donne $f_s$, la moyenne donne $f_d$ (ici $0,687/1,962=0,35$), et le creux $(2f_d-f_s)mg$ sert de contrôle. La valeur moyenne est la mesure la plus robuste : elle ne demande ni $V\ll A\omega$ ni de résoudre l'équation du mouvement.

6) Cas limites et simulation. a) Si $f_s=f_d$ : $A=0$, $\beta =0$, $t^{\ast }=2\pi /\omega$, et $\dot{x}=V(1-\cos \omega t)\ge 0$ ne fait que toucher zéro à chaque période propre, avec une tension qui vaut alors exactement $f_{d}mg=f_{s}mg$ : le patin repart aussitôt. Il n'y a plus de phase collée : un mouvement continu, dont la vitesse oscille entre $0$ et $2V$. Le broutement exige $f_s>f_d$. b) Quand $V$ augmente, la durée d'adhérence $2A/V$ diminue, mais elle ne s'annule jamais dans le modèle de Coulomb : à chaque arrêt, la tension vaut $(2f_d-f_s)mg<f_{s}mg$ et le patin colle. Dans la réalité, le broutement disparaît au-delà d'une vitesse critique, parce que le frottement dynamique réel croît légèrement avec la vitesse de glissement (qualitatif). À l'inverse, pour $V\to 0$, le glissement tend vers une demi-période propre et le signal vers une dent de scie parfaite. c) Avec les paramètres du code : $\omega =10\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, $A=\frac{0,2\times 9,81}{100}=1,96\mathrm{cm}$, $A\omega /V=1,96$. Adhérence $2A/V=0,392\mathrm{s}$, glissement $(2\pi -2\arctan 1,96)/10=0,408\mathrm{s}$ : période $0,801\mathrm{s}$. Tension extrême : $f_{d}mg\pm k\sqrt{A^2+V^2/{\omega }^2}=3,924\pm 100\times 0,0220$, soit $6,13\mathrm{N}$ et $1,72\mathrm{N}$ ; moyenne $3,924\mathrm{N}$. Le code du cours, exécuté, donne une période de $0,801\mathrm{s}$, une tension moyenne de $3,924\mathrm{N}$ et des extrêmes de $6,13$ et $1,72\mathrm{N}$ : accord complet. Ici $V$ n'est pas petit devant $A\omega$ : la tension monte jusqu'à $6,13\mathrm{N}$, nettement au-dessus de $f_{s}mg=5,89\mathrm{N}$, pendant le glissement. La phrase du cours décrit le critère de décrochage (tant que le patin est collé, la tension ne dépasse pas $f_{s}mg$), pas une borne de la tension en glissement. Le portrait de phase $(u,\dot{u}/\omega )$ résume le cycle : un segment horizontal pendant l'adhérence ($\dot{u}=V$, $u$ va de $-A$ à $A$), puis un arc de cercle de rayon $\sqrt{A^2+V^2/{\omega }^2}$ pendant le glissement, parcouru de $(A,V/\omega )$ à $(-A,V/\omega )$.

Le broutement est partout où un contact frottant est entraîné par un élément élastique, avec $f_s>f_d$ : la craie qui crisse, la porte qui grince, l'essuie-glace qui broute, l'archet du violon (qui l'exploite). Les géophysiciens décrivent certains séismes comme le broutement d'une faille chargée lentement par la tectonique : de longues phases collées, une rupture brutale (qualitatif).

Le résultat obtenu — le broutement (stick-slip). Un patin tiré à vitesse constante $V$ par un ressort de raideur $k$, sur un support de coefficients $f_s>f_d$, alterne périodiquement adhérence et glissement. Chaque glissement est une demi-oscillation harmonique autour de l'allongement $f_{d}mg/k$ ; la tension y chute de $2(f_s-f_d)mg$, quelle que soit $V$ ; la phase collée dure $2(f_s-f_d)mg/(kV)$. Sur un cycle, la valeur moyenne de la tension vaut exactement $f_{d}mg$, et son maximum vaut $f_{s}mg$ quand $V\ll A\omega$ : l'enregistrement de la tension mesure les deux coefficients. Le broutement disparaît si $f_s=f_d$.

Ce que le problème installe. Le changement de mode de glissement se traite phase par phase, avec une hypothèse et une validation à chaque phase, et les conditions finales d'une phase sont les conditions initiales de la suivante. Un frottement constant décale l'équilibre d'un oscillateur sans changer sa pulsation. Le bilan d'énergie sur un cycle donne une moyenne exacte sans intégrer. Et l'on sait ce que fait une simulation avant de la lancer : c'est la meilleure façon de la contrôler.