Tirer ou pousser une caisse : l'angle optimal et l'arc-boutement

La stratégie. On se place au seuil : la caisse est encore immobile, la loi de l'adhérence s'écrit avec l'égalité $\Vert \overrightarrow{T}\Vert =f_{s}N$, et $\overrightarrow{T}$ s'oppose au glissement imminent. L'équilibre donne $N$, qui dépend de la force appliquée : c'est tout l'enjeu.

1) Tirer. Axes : ${\overrightarrow{e}}_x$ horizontal dans le sens du glissement imminent, ${\overrightarrow{e}}_y$ vertical ascendant. Forces : poids $-mg{\overrightarrow{e}}_y$, réaction $N{\overrightarrow{e}}_y-T{\overrightarrow{e}}_x$, traction $F(\cos \gamma {\overrightarrow{e}}_x+\sin \gamma {\overrightarrow{e}}_y)$. Équilibre au seuil, avec $T=f_{s}N$ : $$F\cos \gamma =f_{s}N,N=mg-F\sin \gamma ⟹F(\gamma )=\frac{f_{s}mg}{\cos \gamma +f_s\sin \gamma }.$$ Tirer vers le haut soulage le sol : $N$ diminue, le seuil $f_{s}N$ aussi. Le calcul suppose le contact maintenu : il faut vérifier $N=mg-F\sin \gamma \ge 0$. Si $N$ s'annulait, la caisse décollerait avant de glisser.

2) L'angle optimal. $F$ est minimale quand $D(\gamma )=\cos \gamma +f_s\sin \gamma$ est maximal : $D^{\prime }(\gamma )=-\sin \gamma +f_s\cos \gamma =0$, soit $\tan \gamma =f_s$, c'est-à-dire $\gamma ={\phi }_s$ : l'angle optimal est l'angle de frottement. Alors $D=\cos {\phi }_s+\tan {\phi }_s\sin {\phi }_s=1/\cos {\phi }_s$, et $$F_{\min }=f_{s}mg\cos {\phi }_s=mg\sin {\phi }_s.$$ Numériquement : $F(0)=f_{s}mg=0,50\times 50\times 9,81\approx 245\mathrm{N}$ ; ${\phi }_s=\arctan 0,50\approx 26,6^{\circ }$ ; $F_{\min }=490,5\times \sin 26,6^{\circ }\approx 219\mathrm{N}$, soit $10,6\%$ de moins. Validation : $N=mg-F_{\min }\sin {\phi }_s=mg{\cos }^2{\phi }_s=392\mathrm{N}>0$. Pour $f_s=0,2$, le gain n'est que de $1,9\%$ : $F_{\min }/F(0)=\cos {\phi }_s=1/\sqrt{1+f_s^2}$, proche de $1$ quand le frottement est faible. Tirer en biais n'aide vraiment que sur un sol qui accroche ($22\%$ pour $f_s=0,8$).

3) Par le cône. Au seuil, la réaction $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{N}+\overrightarrow{T}$ est sur une génératrice du cône, à l'angle ${\phi }_s$ de la verticale, penchée vers l'arrière. L'équilibre $m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$ dit que les trois vecteurs, mis bout à bout, ferment un triangle. On trace $m\overrightarrow{g}$ (fixé), puis depuis son extrémité la droite qui porte $\overrightarrow{R}$ (direction fixée, longueur libre) ; $\overrightarrow{F}$ va d'un point de cette droite à l'origine de $m\overrightarrow{g}$. La plus courte est la perpendiculaire à la droite : $\overrightarrow{F}$ est alors perpendiculaire à $\overrightarrow{R}$, donc incliné de ${\phi }_s$ sur l'horizontale, et sa longueur vaut $mg\sin {\phi }_s$. On retrouve tout, sans dériver.

4) Pousser vers le bas. La force vaut $F(\cos \alpha {\overrightarrow{e}}_x-\sin \alpha {\overrightarrow{e}}_y)$ : elle appuie la caisse sur le sol. Au seuil : $$F\cos \alpha =f_{s}N,N=mg+F\sin \alpha ⟹F(\alpha )=\frac{f_{s}mg}{\cos \alpha -f_s\sin \alpha }.$$ Ici $N>0$ toujours. Pour $\alpha =30^{\circ }$ : $F=245,25/(0,866-0,25)\approx 398\mathrm{N}$, soixante pour cent de plus qu'à l'horizontale. Le dénominateur s'annule pour $\tan \alpha =1/f_s$, soit $${\alpha }_c=90^{\circ }-{\phi }_s=63,4^{\circ }.$$ Pour $\alpha \ge {\alpha }_c$, la composante horizontale $F\cos \alpha$ reste inférieure au supplément de frottement $f_{s}F\sin \alpha$ qu'elle crée : aucune intensité ne met la caisse en mouvement. C'est l'arc-boutement. Lecture par le cône : pour une très grande force, le poids devient négligeable et la réaction doit équilibrer $\overrightarrow{F}$ seule, $\overrightarrow{R}\approx -\overrightarrow{F}$ ; l'équilibre est possible si $-\overrightarrow{F}$ est dans le cône, c'est-à-dire si la ligne d'action de la force poussante fait avec la normale un angle $90^{\circ }-\alpha$ inférieur à ${\phi }_s$. Le manche d'un balai trop redressé bute ; pour faire avancer une tondeuse lourde, on abaisse les mains.

Ce que l'exercice installe. Le seuil de glissement est $f_{s}N$, et $N$ dépend de la force appliquée : tirer vers le haut soulage le contact, pousser vers le bas le charge. L'angle optimal de traction est l'angle de frottement, et le cône le lit sans calcul (la force minimale est perpendiculaire à la génératrice). Quand la force poussante entre dans le cône, aucune intensité ne suffit : c'est l'arc-boutement, qu'on retrouvera dans le tiroir.