Du champ newtonien à la pesanteur uniforme

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point · C. Forces conservatives et énergie potentielle

Énoncé

La Terre est assimilée à une boule de centre $O$ et de rayon $R = 6371 km$ , dont l'action sur un point de masse $m$ situé à l'altitude $z$ dérive de l'énergie potentielle $E_{p} (z) = - G \frac{M m}{R + z}$ . On pose $g_{0} = \frac{G M}{R ^{2}} = 9, 81 m s^{- 2}$ . On néglige l'air et la rotation de la Terre.

1) Écrire $E_{p} (z) - E_{p} (0)$ en fonction de $m$ , $g_{0}$ , $R$ et $z$ . Montrer qu'à l'ordre 1 en $z / R$ on retrouve $m g_{0} z$ . Quelle est l'erreur relative commise en utilisant $m g_{0} z$ ? À quelle altitude atteint-elle $1 %$ ?

2) Un projectile est lancé verticalement depuis le sol avec la vitesse $v_{0}$ . On note $h_{0} = \frac{v _{0}^{2}}{2 g _{0}}$ la hauteur atteinte dans le modèle de la pesanteur uniforme. Montrer que, dans le modèle newtonien, la hauteur atteinte est $h = \frac{R h _{0}}{R - h _{0}}$ . Vérifier l'homogénéité et le cas limite $h_{0} ≪ R$ .

3) Que se passe-t-il quand $h_{0} \to R$ ? En déduire la vitesse de libération $v_{lib} = 2 g_{0} R$ et la calculer. Interpréter sur le graphe de $E_{p} (z)$ : état lié, état de diffusion.

4) Calculer $h_{0}$ et $h$ pour $v_{0} = 1$ , $5$ , $8$ et $10 km s^{- 1}$ . Jusqu'où le modèle uniforme est-il acceptable ?

Corrigé

La stratégie. On exprime tout avec $g_{0}$ et $R$ grâce à $G M = g_{0} R^{2}$ , puis on compare les deux modèles par un développement limité en $z / R$ .

1) Le développement. Avec $G M m = m g_{0} R^{2}$ : $E_{p} (z) - E_{p} (0) = m g_{0} R^{2} (\frac{1}{R} - \frac{1}{R + z}) = m g_{0} R^{2} \cdot \frac{z}{R ( R + z )} = \frac{m g _{0} z}{1 + z / R} .$ Le développement limité $(1 + u)^{- 1} = 1 - u + O (u^{2})$ , avec $u = z / R$ , donne $E_{p} (z) - E_{p} (0) = m g_{0} z (1 - \frac{z}{R} + O (\frac{z ^{2}}{R ^{2}})) .$ Le terme d'ordre 1 en $z / R$ — c'est-à-dire le premier terme non nul — est $m g_{0} z$ : l'énergie potentielle de pesanteur uniforme est la linéarisation de l'énergie potentielle newtonienne au voisinage du sol. L'erreur relative commise en la remplaçant par $m g_{0} z$ est $\frac{m g _{0} z - \frac{m g _{0} z}{1 + z / R}}{\frac{m g _{0} z}{1 + z / R}} = \frac{z}{R} (exactement) .$ Elle atteint $1 %$ pour $z = R /100 \approx 64 km$ . Pour un avion de ligne (une dizaine de kilomètres), le modèle uniforme est exact à $0, 2 %$ près.

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