Équilibres d'un potentiel donné

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point

Énoncé

Une particule de masse $m$ évolue dans le potentiel $E_{p} (x) = a x^{4} - b x^{2}$ ( $a, b > 0$ ). Déterminer les positions d'équilibre et leur stabilité.

Corrigé

$E_{p}^{'} (x) = 4 a x^{3} - 2 b x = 2 x (2 a x^{2} - b)$ , nul en $x = 0$ et $x = \pm b / (2 a)$ . La dérivée seconde $E_{p}^{''} (x) = 12 a x^{2} - 2 b$ vaut $- 2 b < 0$ en $x = 0$ (instable, c'est une barrière) et $+ 4 b > 0$ en $x = \pm b / (2 a)$ (stables, deux puits symétriques). C'est le potentiel « double puits ».

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