L'arc et la flèche

Application directe du cours · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point

Énoncé

Un archer tend son arc, modélisé par un ressort de raideur $k = 300 N / m$ , en l'étirant de $d = 0, 60 m$ . Au lâcher, toute l'énergie élastique est transmise à la flèche de masse $m = 25 g$ , qui part horizontalement.

Exprimer puis calculer l'énergie potentielle élastique \Ep^{\text{ressort}} emmagasinée.
En supposant la conversion intégrale en énergie cinétique, établir l'expression de la vitesse $v$ de la flèche, puis la calculer.
Comment varie la portée si l'archer tire plus fort (étirement $d$ plus grand) ? Justifier avec l'expression de $v$ .

Corrigé

1. L'arc tendu se comporte comme un ressort étiré de $d$ :

\boxed{\Ep^{\text{ressort}}=\tfrac12 k d^2}=\tfrac12\times 300\times 0{,}60^2=54\,\mathrm{J}.

2. Conversion intégrale en énergie cinétique : $\frac{1}{2} k d^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$ , d'où

$v = d \frac{k}{m} = 0, 60 \times \frac{300}{0 , 025} \approx 66 m / s (\approx 240 km / h) .$

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