La descente est plus lente que la montée

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point · D. Énergie mécanique

Énoncé

Un volant de badminton de masse $m = 5, 0 g$ est lancé verticalement vers le haut avec la vitesse $v_{0} = 30 m s^{- 1}$ . L'air exerce une force $F = - κ ∥ v ∥ v$ ( $κ > 0$ ). On mesure sa vitesse limite de chute : $v_{ℓ} = 6, 8 m s^{- 1}$ . On prend $g = 9, 81 m s^{- 2}$ et l'axe $O z$ vertical ascendant, l'origine au point de lancement.

1) Exprimer $κ$ en fonction de $m$ , $g$ et $v_{ℓ}$ .

2) Sans résoudre aucune équation différentielle. Appliquer le théorème de l'énergie mécanique entre deux passages du volant à une même altitude $z$ , à la montée puis à la descente. En déduire qu'à chaque altitude la vitesse à la descente est inférieure à la vitesse à la montée ; puis que la descente dure plus longtemps que la montée, et que le volant revient au point de lancement avec une vitesse $v_{ret} < v_{0}$ .

3) Montée. On considère $w = v^{2}$ comme une fonction de l'altitude $z$ . Montrer que $\frac{d w}{d z} = - 2 g (1 + \frac{w}{v _{ℓ}^{2}})$ . En déduire la hauteur maximale $H = \frac{v _{ℓ}^{2}}{2 g} ln (1 + \frac{v _{0}^{2}}{v _{ℓ}^{2}})$ .

4) Descente. Établir l'équation analogue et en déduire $v_{ret} = \frac{v _{0} v _{ℓ}}{v _{0}^{2} + v _{ℓ}^{2}}$ .

5) Calculer $H$ , le comparer à la hauteur atteinte sans air, et calculer $v_{ret}$ . Étudier les cas limites $v_{0} ≪ v_{ℓ}$ et $v_{0} ≫ v_{ℓ}$ , et les interpréter.

6) On admet que la montée dure $t_{↑} = \frac{v _{ℓ}}{g} arctan \frac{v _{0}}{v _{ℓ}}$ . Une intégration numérique donne une durée totale de vol de $2, 45 s$ . En déduire la durée $t_{↓}$ de la descente, et confronter à la question 2.

Corrigé

1) Le coefficient. À la vitesse limite de chute, le volant descend à vitesse constante : la somme des forces est nulle, $m g = κ v_{ℓ}^{2}$ , d'où $κ = \frac{m g}{v _{ℓ}^{2}} \approx 1, 06 \times 1 0^{- 3} kg m^{- 1}$ . On retiendra surtout $\frac{κ}{m} = \frac{g}{v _{ℓ}^{2}}$ .

2) Le raisonnement sans calcul. Le théorème de l'énergie mécanique s'écrit $Δ E_{m} = W_{air}$ , avec $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g z$ ; la force de l'air a pour puissance $P = F \cdot v = - κ ∥ v ∥^{3}$ , strictement négative dès que le volant bouge.

Soit $z$ une altitude comprise entre $0$ et le sommet $H$ , atteinte à l'instant $t_{1}$ à la montée et à l'instant $t_{2} > t_{1}$ à la descente. Entre ces deux instants, le volant n'est pas immobile (il ne l'est qu'un instant, au sommet), donc $E_{m} (t_{2}) - E_{m} (t_{1}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} - κ ∥ v ∥^{3} d t < 0.$ Les deux passages ayant lieu à la même altitude, les énergies potentielles sont égales et la différence porte sur l'énergie cinétique seule : $v_{↓} (z) < v_{↑} (z)$ , en notant $v$ les normes des vitesses.

Conséquence sur les durées. La montée dure $t_{↑} = \int_{0}^{H} \frac{d z}{v _{↑} ( z )}$ et la descente $t_{↓} = \int_{0}^{H} \frac{d z}{v _{↓} ( z )}$ : c'est la même distance parcourue, mais, à chaque altitude, plus lentement. Comme $\frac{1}{v _{↓} ( z )} > \frac{1}{v _{↑} ( z )}$ pour tout $z$ de $[0, H [$ , on a $t_{↓} > t_{↑}$ . Conséquence sur le retour. En $z = 0$ , la même inégalité donne $v_{ret} < v_{0}$ .

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