La puissance du cycliste : grimper sans faiblir

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point

Énoncé

Un cycliste et son vélo, de masse totale $m = 80 kg$ , gravissent une côte de pente $α = 5^{\circ}$ à vitesse constante $v = 18 km / h$ . Outre la pesanteur, il subit un frottement (air + roulement) de norme $f = 15 N$ opposé au mouvement. On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Convertir la vitesse en $m / s$ . Pourquoi la somme des forces est-elle nulle ?

Donner l'expression de la force $F$ que le cycliste doit développer, puis la calculer.

Avec $P = F \cdot v = F v$ , calculer la puissance mécanique. La comparer à une puissance humaine soutenable ( $200 W$ à $300 W$ ).

Que devient cette puissance si la pente double ( $1 0^{\circ}$ ), à même vitesse ? Conclure.

Corrigé

1. $v = 18 km / h = \frac{18}{3 , 6} = 5, 0 m / s$ . À vitesse constante, l'accélération est nulle : par le principe d'inertie, la somme des forces est nulle. La force du cycliste équilibre la composante du poids le long de la pente et le frottement.

2. Le long de la pente : $F = m g sin α + f$ , soit

$F = m g sin α + f = 80 \times 9, 81 \times sin 5^{\circ} + 15.$

Avec $sin 5^{\circ} \approx 0, 0872$ : $F \approx 68, 4 + 15 \approx 83 N$ .

3. $F$ et $v$ colinéaires de même sens :

$P = F v = 83 \times 5, 0 \approx 420 W .$

C'est nettement au-dessus d'une puissance soutenable (\SIrange{200}{300}{\watt}) : un amateur ne tiendra ce rythme que quelques minutes.

4. À $1 0^{\circ}$ ( $sin 1 0^{\circ} \approx 0, 174$ ) : $F^{'} \approx 784, 8 \times 0, 174 + 15 \approx 151 N$ , $P^{'} \approx 151 \times 5, 0 \approx 760 W$ . La puissance passe de $420 W$ à $760 W$ : pour ne pas exploser, le cycliste doit ralentir — d'où les petits braquets en forte montée.

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