La puissance du cycliste

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 3 — Approche énergétique du mouvement d'un point · B. Théorème de l'énergie cinétique

Énoncé

Un cycliste et son vélo, de masse totale $m = 80 kg$ , roulent sur une route rectiligne de pente $α$ . On modélise l'ensemble par un point matériel soumis à son poids, à la réaction de la route, à une résistance au roulement de norme constante $C_{r} m g cos α$ ( $C_{r} = 0, 004$ ) et à la traînée de l'air, de norme $\frac{1}{2} ρ S C_{x} v^{2}$ ( $ρ = 1, 2 kg m^{- 3}$ , maître-couple aérodynamique $S C_{x} = 0, 30 m^{2}$ ), ces deux dernières forces étant opposées à la vitesse. L'effort musculaire est modélisé par une puissance motrice $P_{c}$ fournie au système. On prend $g = 9, 81 m s^{- 2}$ et l'on néglige le vent.

1) Appliquer le théorème de la puissance cinétique au mouvement à vitesse constante $v$ (on montera la route si $α > 0$ ). Établir $P_{c} = (m g sin α + C_{r} m g cos α) v + \frac{1}{2} ρ S C_{x} v^{3} .$ Quelles forces sont motrices, lesquelles résistantes ?

2) Sur le plat, le cycliste fournit $P_{c} = 250 W$ . En négligeant d'abord le roulement, estimer $v$ ; puis résoudre l'équation complète (numériquement) et calculer la part de la puissance dissipée par l'air. De combien la vitesse augmente-t-elle si la puissance double ?

3) En côte, $α = 5^{\circ}$ , à la même puissance : calculer $v$ et la part de la puissance qui sert à s'élever. Qu'est-ce qui compte alors pour un grimpeur ?

4) En descente sur la même pente, sans pédaler : montrer que la vitesse tend vers une limite et la calculer.

Corrigé

La stratégie. À vitesse constante, $E_{c}$ ne varie pas : la somme des puissances est nulle. C'est une équation de bilan de puissance, dont la vitesse est l'inconnue.

1) Le bilan. Système : {cycliste et vélo}, assimilé à un point ; référentiel terrestre galiléen. Théorème de la puissance cinétique : $\frac{d E _{c}}{d t} = P_{c} + P_{poids} + P_{r e ˊ action normale} + P_{roulement} + P_{air} .$ On calcule chaque terme pour une montée à la vitesse $v$ . Le poids $m g$ fait l'angle $\frac{π}{2} + α$ avec $v$ : $P_{poids} = - m g v sin α$ (résistant en montée, moteur en descente). La réaction normale est perpendiculaire à $v$ : puissance nulle. Le roulement et l'air sont opposés à $v$ : $P_{roulement} = - C_{r} m g cos α v$ et $P_{air} = - \frac{1}{2} ρS C_{x} v^{3}$ , toutes deux résistantes. Comme $\frac{d E _{c}}{d t} = 0$ à vitesse constante, on obtient la relation annoncée. Homogénéité : $ρS C_{x} v^{3}$ s'exprime en $kg m^{- 3} \cdot m^{2} \cdot m^{3} s^{- 3} = kg m^{2} s^{- 3}$ , qui est bien un watt.

Le point délicat. Le vélo est propulsé grâce à des forces intérieures (les muscles), que le modèle du point matériel ne décrit pas : c'est pourquoi l'énoncé les remplace par une puissance $P_{c}$ donnée — celle que mesurent les capteurs des cyclistes.

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